dénombrement

Bonjour! j'arrive pas à résoudre ce problème concernant le dénombrement
Une
urne contient 12boules:5blancs,4noirs et trois verts.On tire
successivement et sans remise 4boules de l'urne.déterminer le nombre de
tirages tq la 3ème boule tirée est verte.
je viens de faire
A(12,3)*A(3,1)*(12,1) .choix de 2boules quelconques puis choix d'une
boules verte mais le problème c'est que les 2premières boules peuvent
être aussi vertes ou bien l'une des deux donc le tirage de la3eme boule
verte n'est pas vraiment parmi 3??

(Urne) : 12 boules = 5B + 4N + 3V

Type du tirage: successif, sans remise de 3 boules

Nombre de cas demandés où le 3ème tirage est vert peut se calculer de deux méthodes:

1ère méthode

Des exemples de cas:

Code:

B1 N1 V1
B1 N2 V3
B2 N3 V2


V1 V3 V2
V2 V3 V1
...

ça revient aussi à choisir une boule Verte, puis de compléter par 2 autres boules quelconques de l'urne.

Donc, il y a C(3,1) x C(11,1) x C(10,1) = 330 possibilités.
Le C(3, 1) est le nombre de boules vertes pouvant être choisis au tirage n°3.

2ème méthode

On peut classifier les cas pour faciliter un peu le calcul. On désignera par NON(V) une boule qui n'est pas verte. Un essai aura toujours une des formes suivantes:

NON(V) + NON(V) + V
ou
NON(V) + V + V
ou
V + NON(V) + V
ou
V + V + V

On passe aux calculs:

NON(V) + NON(V) + V ==> n1 = C(9,1)xC(8,1)xC(3,1) = 216

NON(V) + V + V ==> n2 = C(9,1)xC(3,1)xC(2,1) = 54


V + NON(V) + V ==> n3 = C(3,1)xC(9,1)xC(2,1) = 54

V + V + V ==> n4 = C(3,1)xC(2,1)xC(1,1) = 6

Le nombre total de cas est: N = n1+n2+n3+n4 = 330 possibilités.


J'espère que c'est utile !!!