les limites des fonctions trigonométriques

je vois que c'est important de les mentionner, et on va faire des applications, on est d'accord?

1ère application:

mosa a écrit:

lim (1 - cos(x))/sin(x) en 0 ?

indication:
il suffit de multiplier et diviser par x.

a=1-cos(x)/sin(x)*sin(x)/sin(x)=
sin(x)*(1-cos(x))/sin²(x)=sin(x)*(1-cos(x))/(1-cos²(x))=
sin(x)*(1-cos(x))/(1+cos(x))

lim a = 0*0/2=0

ou aussi:

(1-cosx)/sinx = (1-cosx)/x . x/sinx

On a:
(1-cosx)/x ---> 0, lorsque x ---> 0
et
sinx/x ---> 1, lorsque x ---> 0.

D'où la limite est 1x0=0.

methodiX a écrit:ou aussi:

(1-cosx)/sinx = (1-cosx)/x . x/sinx

On a:
(1-cosx)/x ---> 0, lorsque x ---> 0
et
sinx/x ---> 1, lorsque x ---> 0.

D'où la limite est 1x0=0.

Je veux la démonstration de

lim (1-cos(x))/x = 0
x --> 0

lim cos(0)-cos(x)/(0-x) = lim d(cos(x))/dx = -sin(x) = 0
x --> 0

lim cos(0)-cos(x)/(0-x) = -d(cos(x))/dx = sin(x) = 0
x --> 0

lim cos(0)-cos(x)/(0-x) = +d(cos(x))/dx en 0 = -sin(0) = 0
x --> 0

Indication:
Il faut se débrouiller pour ramener la limite à la forme Tg(X)/X en 0.

bravo manianis
allez, amusez-vous avec cette limite

ce genre de limite en x0 rappelle toujours la notion du nombre dérivé d'une fonction f en x0 noté f '(x0).

f ' (x0) = lim (x->x0, [f(x)-f(x0)]/[x - x0]

mosa a écrit:bravo manianis
allez, amusez-vous avec cette limite

lim cos(x)/(x-(pi/2)) quand x tend vers pi/2

merci c'est vraiment amusant.
lim cos(x)-cos(pi/2)/(x-pi/2)=lim d(cos(x))/dx = lim -sin(x) = -1

c'est incroyable j'ai fait la même faute d'inattention vous avez raison Nabil. Il faudra que je fasse plus d'attention la prochaine fois.

manianis, l faut être POINTU dans les démos

lim cos(x)-cos(pi/2)/(x-pi/2)=lim d(cos(x))/dx = lim sin(x) = 1

Code:


lim cos(x)-cos(pi/2)/(x-pi/2)=d(cos(x))/dx = -sin(pi/2) = -1
en pi/2                              en pi/2                 



on peut également la déterminer par un changement de variable
posons t = x - pi/2
donc (x--> pi/2 <==> t-->0)

cos(x)/(x-(pi/2)) = cos(t+(pi/2))/t = -sin(t)/t puisque ( cos(t+(pi/2)) = -sin(t) )

comme lim sin(t)/t en 0 = 1

d'où lim cos(x)/(x-(pi/2)) = -1

allez y, on continue

mosa a écrit:allez y, on continue

déterminer la limite de (x*sin(x))/(1 - cos(x)) quand x tend vers 0

indication: multiplier et diviser par x.

Vous n'êtes plus motivés?

si si mosa:
x.sinx/(1-cosx) = x²/(1-cosx) . sinx/x ----> 2 qd x tend vers 0.

uffff et enfin, mais je m'arrête pas

lim (1-sin(x))/(cos(x)^2) lorsque x tend vers pi/2

mosa a écrit:lim (1-sin(x))/(cos(x)^2) lorsque x tend vers pi/2

Je me suis trop précipité aujourd'hui :
(1-sinx)/(cos²x) = (1-sinx)/(1-sin²x) = 1/(1+sinx) ---> 1/2 lorsque x tend vers Pi/2.