limites des fonctions exponentielles et logarithmes

bonsoir à tous
je suis bloquée dans l'étude de la fonction suivante à + linfini
x- ln ( exp(x)-1)
y aurait pas quelqu'un pour m'aider

Et par la même occasion j'en profite pour vous demander si vs avez des astuces qui pourront m'aider à mieux utiliser les limites usuelles pr calculer les limites des fonctions exponentielles et logarithmes vu que j trouve souvent des difficultés à les utiliser..
merci d'avance

salut Fleur_bleue!!
bon voila ce que je propse comme resolution:a mon avis il sera preferable de mettre(exp(x)) en facteur c a d x-ln(exp(x)-1)=x-ln(exp(x))-ln(1-1/exp(x))
=x-x-ln(1-1/exp(x))) = -ln(1-1/exp(x))) cette quantité tend vers -Ln(1) = 0
lorsque c tend vers +oo. !! a+

[corrigé]

merci bcp nadou , mais en suivant la même methode ça m'a donné le résultat suivant , tu px tjrs me corriger si j me trompe
x- ln (exp(x)-1)
= x - ln (exp(x)(1-1/exp x))

et comme on a ln (ab) = ln a +ln b
dc ça donnerait
=x- ln exp(x) - ln (1-1/exp(x))
= x-x - ln (1-1/exp(x))
= - ln (1-1/exp(x))
=0
alors

Fleur_bleue a écrit:bonsoir à tous
je suis bloquée dans l'étude de la fonction suivante à + linfini
x- ln ( exp(x)-1)
y aurait pas quelqu'un pour m'aider

Et par la même occasion j'en profite pour vous demander si vs avez des astuces qui pourront m'aider à mieux utiliser les limites usuelles pr calculer les limites des fonctions exponentielles et logarithmes vu que j trouve souvent des difficultés à les utiliser..
merci d'avance

Salut à tous et à toutes,
Je vous remercie {nadou & fleur_bleue} pour votre motivation à participer dans l'enrichissement du forum en posant des questions et aussi en répondant à d'autres.
Une réponse plus détaillée est en cours de préparation. La réponse concernera (a) quelques astuces pour exploiter les limites usuelles des fonctions LOG/EXP (b) et quelques exemples illustratifs et typiques.

B.Nabil

Fleur_bleue a écrit:bonsoir à tous
je suis bloquée dans l'étude de la fonction suivante à + linfini
x- ln ( exp(x)-1)
y aurait pas quelqu'un pour m'aider

Et par la même occasion j'en profite pour vous demander si vs avez des astuces qui pourront m'aider à mieux utiliser les limites usuelles pr calculer les limites des fonctions exponentielles et logarithmes vu que j trouve souvent des difficultés à les utiliser..
merci d'avance

Salut,
Les résultats du cours concernant les limites usuelles des fonctions LOG et EXP sont normalement suffisantes pour calculer n'importe quelle limite que vous trouvez dans les examens, les sujets de bac etc...
La tâche la plus difficile est de trouver "une ressemblance" ou une correspondance entre la limite demandée et l'ensemble des limites du cours. Les origines de la difficulté sont multiples: (1) soit qu'on n'est pas bien entrainé à détecter cette correspondance (2) soit que la limite demandée nécessite une imagination suffisamment riche pour qu'elle soit calculée.
Je dois signaler que tout ce que je viens de dire est valable non seulement pour le calcul des limites, mais aussi pour tout raisonnement mathématique ou scientifique.
En supposant que (1) n'est pas vrai et que vous disposez d'un certain niveau d'intelligence, vous aider à réussir le calcul des limites consiste à améliorer votre capacité à se référer aux limites du cours.

A. FONCTION LOG
1. La limite quand X tend vers +oo de LOG(X) est +oo.
Morale = Le LOG de toute quantité g(x) qui tend vers +oo est infini.

La limite de LOG(x + exp(x)) en +oo est +oo car g(x) = x + exp(x) tend vers +oo. Attention, on connait la limite, mais, on doit faire une démonstration. Comme on a déjà supposé que vous êtes assez intelligent , on peut compter sur vous pour mettre exp(x) en facteur.

2. La limite quand X tend vers +oo de LOG(X)/X est 0.
Morale = LOG(g(x)) est toujours très dominé par g(x) lorque g(x) tend vers +oo.

La limite en +oo de f(x) = LOG(1+x)/x est ????
On aurait aimé que la fonction soit LOG(1+x)/(1+x) pour qu'elle corresponde à la limite usuelle du cours 2. Ce type de remarque "on aurait aimé que f(x) ressemble à ...." vous permet de résoudre pas mal de problèmes. En essayant d'adapter notre fonction à nos besoins, fait:
f(x) = LOG(1+x)/x = LOG(1+x)/(1+x) * (1+x)/x, puisque A/B = (A/C)*(C/B) {à retenir}
Ce qui fait que notre limite est 0 * 1 = 0

La limite quand X tend vers +oo de f(x)=LOG(X)/X^p (p un rationnel positif) est ????
Comme d'habitude, on aurait aimé que f(x)=LOG(x^p)/x^p. On n'est pas loin de nos rêves .
On a:
f(x) = LOG(x)/x^p = (LOG(x^p)/x^p)*1/p car LOG(x^p)=pLOG(x)
Ce qui donne une limite de 0 * 1/p = 0.

3. La limite quand X tend vers 0 de LOG(1+X)/X est 1.
VOUS DEVEZ connaître la démonstration par Coeur!
Morale = Toujours se souvenir de la façon traditionnelle avec laquelle on calcule la dérivée d'une fonction en x0. f'(x0) = limite en x0 de (f(x)-f(x0))/(x-x0).
soit f(x)=LOG(1+x), donc, f(0)=LOG(1)=0. On remarque que (f(x)-f(0))/(x-x0) = LOG(x+1)/x.
donc la limite correspond bien à f'(0) = 1

La limite en +oo de f(x)=xLOG(1+1/x) est ????
Il suffit de remarquer que LOG(1+1/x) en +oo ressemble à LOG(1+X) en 0.
Si vous avez remarqué ça, il doit être automatique de réécrire:
f(x) = xLOG(1+1/x) = LOG(1+1/x)/(1/x)
On pose X=1/x pour s'approcher plus à l'écriture du cours:
f(x) la forme de LOG(1+X)/X quand X tend vers 0.
La limite est 1.

4. La limite quand X tend vers 0 de XLOG(X) est 0.
Il vaut mieux connaitre la démonstration!
si X-->0+ alors 1/X-->+oo.
Donc, Limite de XLOG(X) en 0 = Limite de 1/XLOG(1/X) en +oo = -LOG(X)/X en +oo = 0

La limite de X^X en 0+ est ???
On a X^X = EXP(LOG(X^X)) = EXP(XLOG(X))
Quand X--->0, XLOG(X)--->0, EXP(XLOG(X))--->EXP(0)=1

J'espère que c'est utile. N'hésitez pas à poser des questions.
Une réponse concernant la fonction EXP est en cours de prépation.

B.Nabil

merci bcp Nabil

De rien :cheers:

B.Nabil

nabiL a écrit:
Salut,
Les résultats du cours concernant les limites usuelles des fonctions LOG et EXP sont normalement suffisantes pour calculer n'importe quelle limite que vous trouvez dans les examens, les sujets de bac etc...
La tâche la plus difficile est de trouver "une ressemblance" ou une correspondance entre la limite demandée et l'ensemble des limites du cours. Les origines de la difficulté sont multiples: (1) soit qu'on n'est pas bien entrainé à détecter cette correspondance (2) soit que la limite demandée nécessite une imagination suffisamment riche pour qu'elle soit calculée.
Je dois signaler que tout ce que je viens de dire est valable non seulement pour le calcul des limites, mais aussi pour tout raisonnement mathématique ou scientifique.
En supposant que (1) n'est pas vrai et que vous disposez d'un certain niveau d'intelligence, vous aider à réussir le calcul des limites consiste à améliorer votre capacité à se référer aux limites du cours.

A. FONCTION LOG
1. La limite quand X tend vers +oo de LOG(X) est +oo.
Morale = Le LOG de toute quantité g(x) qui tend vers +oo est infini.

La limite de LOG(x + exp(x)) en +oo est +oo car g(x) = x + exp(x) tend vers +oo. Attention, on connait la limite, mais, on doit faire une démonstration. Comme on a déjà supposé que vous êtes assez intelligent , on peut compter sur vous pour mettre exp(x) en facteur.

2. La limite quand X tend vers +oo de LOG(X)/X est 0.
Morale = LOG(g(x)) est toujours très dominé par g(x) lorque g(x) tend vers +oo.

La limite en +oo de f(x) = LOG(1+x)/x est ????
On aurait aimé que la fonction soit LOG(1+x)/(1+x) pour qu'elle corresponde à la limite usuelle du cours 2. Ce type de remarque "on aurait aimé que f(x) ressemble à ...." vous permet de résoudre pas mal de problèmes. En essayant d'adapter notre fonction à nos besoins, fait:
f(x) = LOG(1+x)/x = LOG(1+x)/(1+x) * (1+x)/x, puisque A/B = (A/C)*(C/B) {à retenir}
Ce qui fait que notre limite est 0 * 1 = 0

La limite quand X tend vers +oo de f(x)=LOG(X)/X^p (p un rationnel positif) est ????
Comme d'habitude, on aurait aimé que f(x)=LOG(x^p)/x^p. On n'est pas loin de nos rêves .
On a:
f(x) = LOG(x)/x^p = (LOG(x^p)/x^p)*1/p car LOG(x^p)=pLOG(x)
Ce qui donne une limite de 0 * 1/p = 0.

3. La limite quand X tend vers 0 de LOG(1+X)/X est 1.
VOUS DEVEZ connaître la démonstration par Coeur!
Morale = Toujours se souvenir de la façon traditionnelle avec laquelle on calcule la dérivée d'une fonction en x0. f'(x0) = limite en x0 de (f(x)-f(x0))/(x-x0).
soit f(x)=LOG(1+x), donc, f(0)=LOG(1)=0. On remarque que (f(x)-f(0))/(x-x0) = LOG(x+1)/x.
donc la limite correspond bien à f'(0) = 1

La limite en +oo de f(x)=xLOG(1+1/x) est ????
Il suffit de remarquer que LOG(1+1/x) en +oo ressemble à LOG(1+X) en 0.
Si vous avez remarqué ça, il doit être automatique de réécrire:
f(x) = xLOG(1+1/x) = LOG(1+1/x)/(1/x)
On pose X=1/x pour s'approcher plus à l'écriture du cours:
f(x) la forme de LOG(1+X)/X quand X tend vers 0.
La limite est 1.

4. La limite quand X tend vers 0 de XLOG(X) est 0.
Il vaut mieux connaitre la démonstration!
si X-->0+ alors 1/X-->+oo.
Donc, Limite de XLOG(X) en 0 = Limite de 1/XLOG(1/X) en +oo = -LOG(X)/X en +oo = 0

La limite de X^X en 0+ est ???
On a X^X = EXP(LOG(X^X)) = EXP(XLOG(X))
Quand X--->0, XLOG(X)--->0, EXP(XLOG(X))--->EXP(0)=1

J'espère que c'est utile. N'hésitez pas à poser des questions.
Une réponse concernant la fonction EXP est en cours de prépation.

B.Nabil

5. La limite quand X tend vers 1 de LOG(X)/(x-1) est 1
en effet, Log(x)/(x-1) = Log(x)-Log(1)/(x-1)
comme la fonction x |----> Log(x) est dérivable en 1
donc lim [Log(x)-Log(1)/(x-1)] lorsque x tend vers 1 = Log'(1) = 1/1 = 1

6. La limite quand X tend vers 0+ de LOG(X) est -oo

étudions la fonction f: x|---> x-Log(exp(x)-1)

le domaine de définition est ]0 , +oo[

en effet, exp(x)-1 > 0 ==> x > Log(1)=0

f(x) = x-Log(exp(x)-1)

soit g(x) = Log(exp(x)-1) = h(v(x))

avec v(x) = exp(x)-1 et h(x) = Log(x)

v est continue et dérivable sur ]0 , +oo[ et h est continue et

dérivable sur v(]0 , +oo[) = ]0 , +oo[ (E)

justifions v(]0 , +oo[) :

v '(x) = exp(x) donc v est croissante

et par suite v(]0 , +oo[) = ]lim v en 0+ , lim v en +oo[ = ]0 , +oo[

(E) ==> g est continue et dérivable sur ]0 , +oo[

ainsi f est continue et dérivable sur ]0 , +oo[

calcul des limites aux bornes du domaine de définition:

lim f en 0+ = +oo

donc la droite D: x=0 c-a-d l'axe des ordonnées est une asymptote à

la courbe de f.

lim f en +oo ?

posons exp(x) = t donc quand x tend vers +oo, t l'est aussi

lim f en +oo = lim (Log(t) - Log(t-1)) en +oo

= lim Log(t/t-1) en +oo = Log(1) = 0

ainsi la droite D':y=0 c-a-d l'axe des abscisses est une asymptote à

la courbe de f.

quelque soit x dans ]0 , +oo[

f '(x) = 1 - [exp(x)/exp(x)-1] < 0

car exp(x) > exp(x)-1 ==> exp(x)/exp(x)-1 > 1

d'où f est strictement décroissante sur ]0 , +oo[

Good Job All of you

bravo mosa.
Une très bonne résolution

salut!!

voilà un petit résumé de cours (la fonction Ln) j'ai pensé que ca sera utile surtout pour les bacheliers(bonne chance pour la revision )
http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/TS/expoln/cours_ln_RD.PDF
@+++++