[Résolu] Le chien qui marche ...

Salut,

c'est pas une énigme celle là, mais ...

Un chien parcourt 12 km en une heure. Justifier qu'il existe forcément un intervalle d'1/2 heure pendant lequel il parcourt 6 km.

Enjoy it...

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vitesse = distance / temps = 12km / 1heure

on divise par 2 le tout ==> vitsse = 6km / 0.5 heure

donc il effectue un trajet de 6 km en 1/2 heure.

mosa a écrit:vitesse = distance / temps = 12km / 1heure

on divise par 2 le tout ==> vitsse = 6km / 0.5 heure

donc il effectue un trajet de 6 km en 1/2 heure.

Bien que la vitesse moyenne du chien est de 6km/30min, ça n'implique jamais que si on prend un intervalle de 30min, on trouve qu'il a parcouru 6Km !!!

imagine que la vitesse n'est pas constante...
imagine même que son mouvement est interrompu ...

J'ai trouvé cette question quelque part sur internet ... mais j'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui cloche dans l'énoncé ...
Anyway, à vous d'y réfléchir ...

Je représente l'axe du temps par un segment allant de 0 à 1 heure (car c'est suffisant).
Il y a trois cas :

1er cas :

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Le chien parcourt la première moitié du trajet avec une vitesse moyenne V1 = 12km/h, et donc la deuxième moitié avec une vitesse moyenne V2 = 12km/h. Dans ce cas, le chien fait 6 km pendant la première demi-heure et 6 km pendant la deuxième. Il n'y a rien à montrer dans ce cas : l'existence de l'intervalle est triviale.

2ème cas :

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Pendant la première moitié du trajet, le chien a une vitesse moyenne V1 < 12km/h . Donc sa vitesse moyenne V2 devrait être supérieure à 12 km/h pendant la deuxième moitié pour pouvoir avoir à la fin du parcourt une vitesse moyenne totale V = 12km/h.
Dans ce cas je prends un intervalle de longueur fixe 0.5 heures allant de l'abscisse x à x + 0.5 . Cet intervalle va balayer l'axe du temps : x variera de 0h à 0.5h.
En représentant la fonction f : x --> (distance parcourue par le chien dans l'intervalle du temps [x , x+0.5] ) x allant de 0h à 0.5h , le problème devient une recherche d'un x dont l'image par f est 6km. On s'aperçoit que f est continue pour les raisons suivantes :
- f s'écrit : f(x)= int(v(t) , t=x..x+0.5) , v(t) étant la vitesse instantanée du chien à l'instant t (pas de LaTeX ...).
- Au pire des cas v(t) est continue par morceaux (c'est-à-dire elle est continue sauf en quelques points en nombre fini ou dénombrable). Mais moi je pense qu'elle est continue car une vitesse qui subit une discontinuité => pente infinie => accélération infinie... C'est impossible car le chien devra avoir une énergie infinie pour faire ça... (imaginez un peu une voiture qui passe de 50 à 100 km/h en 0 seconde ! ) mais même si c'est pas vrai, le premier cas (continue par morceaux) nous suffit amplement.
- Un célèbre théorème mathématique nous fait conclure que f est continue . Voir ce fichier pdf[Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] pour plus d'informations (page 15 proposition 10).

Maintenant, supposons que f (étant continue) n'a pas d'antécédent pour l'élément "6km". Ceci implique impérativement que quelque soit x dans [0h , 0.5h] , f(x)< 6km (du fait de la continuité de f). En particulier pour x=0.5h qui correspond au cas de la deuxième moitié du trajet pendant lequel le chien a une vitesse moyenne V2 > 12 km/h (ce qui implique qu'il a parcouru plus de 6 km). C'est une contradiction. On conclut qu'il existe un antécédent pour 6km dans la fonction f . D'où l'existence de l'intervalle recherché.

3ème cas :

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1ère moitié du trajet : V1 > 12 km/h.
2ème moitié du trajet : V2 < 12 km/h.
C'est pratiquement la même façon de procéder que le cas 2 mais avec quelques symétries (on inverse l'axe du temps : 0h devient 1h et 1h devient 0h). On aboutit à une contradiction similaire.

Dans tous les cas, le chien parcourt bel et bien un intervalle de 6km en 0.5h. On pourra même généraliser (12 km devient n km).

1er cas :
Le chien parcourt la première moitié du trajet avec une vitesse moyenne V1
= 12km/h, et donc la deuxième moitié avec une vitesse moyenne V2 =
12km/h. Dans ce cas, le chien fait 6 km pendant la première demi-heure
et 6 km pendant la deuxième. Il n'y a rien à montrer dans ce cas :
l'existence de l'intervalle est triviale.

discutons d'abord ce cas :
Sami, la vitesse moyenne Vest la distance parcourue D pendant une durée T divisée par T. ça ne veut pas dire que la vitesse est uniforme. On ne peut pas dans ce cas avoir une idée sur la façon avec laquelle le chien parcourt la distance D=12Km. Conclusion, on ne peut pas affirmer l'existence d'un intervalle de temps [t1,t2] pendant lequel le chien parcourt une distance de 6Km.

Sami: pour les cas 2 et 3: je posterai plutard mes commentaires.

nabiL a écrit:

1er cas :
Le chien parcourt la première moitié du trajet avec une vitesse moyenne V1
= 12km/h, et donc la deuxième moitié avec une vitesse moyenne V2 =
12km/h. Dans ce cas, le chien fait 6 km pendant la première demi-heure
et 6 km pendant la deuxième. Il n'y a rien à montrer dans ce cas :
l'existence de l'intervalle est triviale.

discutons d'abord ce cas :
Sami, la vitesse moyenne Vest la distance parcourue D pendant une durée T divisée par T. ça ne veut pas dire que la vitesse est uniforme. On ne peut pas dans ce cas avoir une idée sur la façon avec laquelle le chien parcourt la distance D=12Km. Conclusion, on ne peut pas affirmer l'existence d'un intervalle de temps [t1,t2] pendant lequel le chien parcourt une distance de 6Km.

J'ai jamais dit que la vitesse est uniforme Nabil. Dans ce premier cas j'ai juste supposé que la vitesse moyenne pendant la première moitié du trajet est 12 km/h. Ceci ne veut pas dire que la vitesse instantanée V(t) est constante, mais seulement que sa moyenne est égale à 12 km/h (pour information, la moyenne d'une fonction f(t) sur un intervalle [a,b] est : [1/(b-a))*int(f(t) , t =a..b)] ). V(t) peut varier autant qu'elle veut pendant la première demi-heure. Ma supposition est juste qu'elle parcourt 6 km pendant ce laps de temps (ce qui est équivaut à dire que sa vitesse moyenne est égale à 12km/h).

nabiL a écrit:Conclusion, on ne peut pas affirmer l'existence d'un intervalle de
temps [t1,t2] pendant lequel le chien parcourt une distance de
6Km.

il existe : c'est l'intervalle [0h , 0.5h] ou bien [0.5h , 1h] (sous les hypothèses du premier cas bien sûr).

Faire appel à la continuité est bien réfléchie! bravo pour le raisonnement. Pour Nabil, je pense qu'il a commenté parce qu'il n'a pas lu tout le raisonnement.

On s'aperçoit que f est continue pour les raisons suivantes :
- f s'écrit : f(x)= int(v(t) , t=x..x+0.5) , v(t) étant la vitesse instantanée du chien à l'instant t (pas de LaTeX [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] ...).
-
Au pire des cas v(t) est continue par morceaux (c'est-à-dire elle est
continue sauf en quelques points en nombre fini ou dénombrable). Mais
moi je pense qu'elle est continue car une vitesse qui subit une
discontinuité => pente infinie => accélération infinie

Je veux bien qu'on discute ce point :
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Est-ce que tu peux commenter la faisabilité d'un tel mouvement?

Nabil,
Même si le raisonnement que j'ai présenté inclus le cas de cette fonction, je ne pense pas qu'un mobile peut avoir une telle vitesse. Le problème vient des discontinuités : le passage instantané d'une vitesse d'une valeur à une autre est impossible dans le monde réel. Si c'était vrai, alors ça implique que l'accélération (qui est la dérivée de la vitesse) est infinie pendant cette discontinuité (pente verticale). Donc d'après la RFD, les forces extérieures au mobiles doivent avoir un module infinie. Ce n'est pas possible physiquement (d'après le modèle du Big Bang , l'univers a une énergie finie en somme )

J'ai trouvé un raisonnement par l'absurde. Il me semble que ça mène à quelque chose.

Raisonnons par l'absurde:
On suppose qu'il n'existe aucun intervalle de 30min dans lequel le
chien parcourt 6km. Ça revient à dire que la fonction D(t) : distance
parcourue par le chien après t minutes doit vérifier la liste des
conditions suivantes:

1) D(t) définie de [0,60] sur [0,12]
2) D n'est pas forcément continue sur son domaine.
3) D(0) = 0, et D(60) = 12.
4) D est croissante sur son domaine.
5) Pour tout t de [0,60], on 0<=D(t)<=12. Elle réalise, donc, une
bijection sur chaque intervalle inclus dans [0,60] et sur lequel elle
est continue.
6) Pour tout t de [0,30], D(t+30) - D(t) <> 6.


Si on arrive à prouver qu'une telle fonction n'existe jamais, on aurait résolu le problème.

Sami a écrit:Nabil,
Même si le raisonnement que j'ai présenté inclus le cas de cette fonction, je ne pense pas qu'un mobile peut avoir une telle vitesse. Le problème vient des discontinuités : le passage instantané d'une vitesse d'une valeur à une autre est impossible dans le monde réel. Si c'était vrai, alors ça implique que l'accélération (qui est la dérivée de la vitesse) est infinie pendant cette discontinuité (pente verticale). Donc d'après la RFD, les forces extérieures au mobiles doivent avoir un module infinie. Ce n'est pas possible physiquement (d'après le modèle du Big Bang , l'univers a une énergie finie en somme )

Pour te contredire un peu :
Qu'est-ce que tu dis des sauts de grenouilles??? c'est plus simple que le Big Bang lol non? et la vitesse d'une grenouille est similaire au schéma que j'ai présenté (c'est pas exactement le même schéma: puisque la vitesse de la grenouille dans un saut passe par 5 phases: nulle, croissante, décroissante, nulle, croissante[chute libre sans vitesse initiale]).

Et bien, oui c'est similaire. Mais c'est une courbe continue. Quand la grenouille retouche le sol, sa vitesse ne vas pas disparaitre d'un seul cou. Il y a une transition. C'est vrai que la transition est très rapide, mais elle n'est pas instantanée.

Pour ce qui est de D(t), désolé mais elle est continue.
J'expliquerai demain, je dois aller dormir maintenant.

Sami a écrit:Et bien, oui c'est similaire. Mais c'est une courbe continue. Quand la grenouille retouche le sol, sa vitesse ne vas pas disparaitre d'un seul cou. Il y a une transition. C'est vrai que la transition est très rapide, mais elle n'est pas instantanée.

Pour ce qui est de D(t), désolé mais elle est continue.
J'expliquerai demain, je dois aller dormir maintenant.

Hier après avoir posté le message, je me suis rendu compte que la fonction D(t) est continue et croissante. J'ai fait la confusion avec la vitesse...

Mais maintenant, la solution est immédiate. Je vais vous la décrire!

Je reprends le raisonnement que j'ai posté:

Raisonnons par l'absurde:
On suppose qu'il n'existe aucun intervalle de 30min dans lequel le
chien parcourt 6km. Ça revient à dire que la fonction D(t) : distance
parcourue par le chien après t minutes doit vérifier la liste des
conditions suivantes:

1) D(t) définie de [0,60] sur [0,12]
2) D est continue sur son domaine
3) D est dérivable sur son domaine
Pour expliquer ce point, il suffit d'étudier les différents cas de non-dérivabilité de la distance:
(A) Il existe t tel que la tangente en t à la courbe de la distance est verticale.
(B) Il existe t tel que le nombre dérivé à gauche est différent du nombre dérivé à droite de t.

Or, se rappelant que la dérivé de la distance par rapport au temps n'est rien d'autre que la vitesse à instant t, on peut conclure que (A) et (B) ne sont jamais vérifiées.

(A) => il existe un instant t où la vitesse du chien est infini (impossible)
(B) => il existe un instant t où le chien change brusquement de vitesse V(t) <> V(t+dt)

3) D(0) = 0, et D(60) = 12.
4) D est croissante sur son domaine (pas nécessairement strictement croissante)
5) Pour tout t de [0,60], on 0<=D(t)<=12.

6) Pour tout t de [0,30], D(t+30) - D(t) <> 6.

Si on arrive à prouver qu'une telle fonction n'existe pas, on aurait résolu le problème.

Les hypothèses (1), (2) et (3) nous permette d'utiliser un théorème fondamental, c'est le théorème des accroissements finis:

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Énoncé : Pour toute fonction à une variable réelle f : [a, b] → R (a et b réels tels que a < b), supposée continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, le théorème des accroissements finis annonce l'existence d'un réel c strictement compris entre a et b vérifiant :
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à suivre ...

Sami a écrit:Et bien, oui c'est similaire. Mais c'est une courbe continue. Quand la grenouille retouche le sol, sa vitesse ne vas pas disparaitre d'un seul cou. Il y a une transition. C'est vrai que la transition est très rapide, mais elle n'est pas instantanée.

Je doute fort de ce tu viens de dire concernant la continuité de la vitesse.
La grenouille dans son saut, effectue un mouvement de 5 phases:

Un mouvement accéléré

Un mouvement retardé

Un arrêt dans l'air avant de chuter

Un mouvement accéléré (Une chute libre sans vitesse initiale)

Un arrêt immédiat (contact avec le sol)

Nabil,
Laissons de côté la grenouille et essayons de voir le problème de continuité ou discontinuité de la vitesse d'un point de vue logique.
Si il y a une discontinuité, c'est que la vitesse va changer de valeur instantanément, en d'autres termes, la pente à la courbe de vitesse en cet instant sera verticale. Ceci veut dire que l'accélération a eu à cet instant une valeur infinie (négative dans ce cas puisque c'est une décélération) car l'accélération est la dérivée de la vitesse. Mais d'après le théorème fondamental de la dynamique (RFD) de Newton, masse * accélération = somme des forces extérieures.
La masse est finie, l'accélération est infinie donc certainement la somme des forces extérieures est infinie.
Franchement, tu connais quelque chose qui peut engendrer une force infinie ? Même la terre qui va ,soi-disant, arrêter cette grenouille, n'a pas la capacité d'engendrer une force opposée infinie. C'est impossible physiquement.
Si il y a une faute dans mon raisonnement, fais le moi savoir.

Si il y a une discontinuité, c'est que la vitesse va changer de valeur
instantanément, en d'autres termes, la pente à la courbe de vitesse en
cet instant sera verticale.

Si j'ai bien compris, tu veux dire qu'une fonction discontinue admet des tangentes verticales?

est-ce que tu es très sûr de ça ?

Je peux te donner une fonction discontinue et il n'existe aucun point où la pente de la tangente est infinie (tangente verticale) ...

Prends la fonction suivante:

f(x) = cosx si sinx >=0 lol
f(x) = 0 sinon

disant :
f(x) = sin(x) si sin(x) >0
f(x) = -1 sinon

ben en x=Pi par exemple , on peut dire qu'il y a une discontinuité.

Mathématiquement parlant, si il y a une discontinuité sur une abscisse x, on ne peut pas parler de dérivé en x. Ceci est du au fait que le domaine de dérivabilité d'une fonction est inclus dans le domaine de continuité. Donc comme tu l'as dis, en une discontinuité il n'y a pas de tangente verticale (en fait seulement des demi-tangentes, mais même ici pas dans tous les cas).
Physiquement parlant, comment interpréter un changement brusque de la vitesse ???? Mais bien sur avec une pente verticale, en d'autres termes, un changement instantané de sa valeur. Je sais que mathématiquement c'est pas possible de parler de pente dans ce cas, mais il doit forcément y avoir une interprétation physique de ce changement brusque. Comment veux-tu qu'une vitesse change d'une valeur à une autre instantanément? Une accélération infinie .

En outre, tu pourras toujours relier les points discontinues d'une fonction avec un segment vertical. Mais ça ne sera plus une fonction dans ce cas (car un antécédent pourra avoir plusieurs images). ça restera quand même un objet mathématique exploitable en physique.
Voilà, j'espère que j'étais clair.

bien sur tu étais clair, mais ... tu glisses des idées non justifiées de temps en temps ...

Mais bien sur avec une pente verticale, en d'autres termes, un changement instantané de sa valeur.

Une accélération infinie

D'une part tu rejettes le raisonnement mathématique parce qu'il est incapable d'expliquer la discontinuité/continuité de la vitesse. Et d'autre part, tu parles de "pente verticale"! je ne vois plus rien ... Reprenons ce que tu viens de dire (corrige-moi si j'ai mal compris): tu as dit qu'une discontinuité de la vitesse s'explique par une tangente (ou demi-tangente) verticale... il faudra chercher une autre explication, autre que celle-ci, et se rappeler aussi d'une chose importante, que les maths et les physiques, l'un est au service de l'autre, cependant, ils n'utilisent le même jargon ou plus précisément, on est plus tolérant en physiques qu'en maths.

Pour le moment et dans ce topic, les arguments que tu as présentés ne sont pas encore très convaincants... de ma part, je n'ai aucune idée sur la réponse correcte à la discontinuité de la vitesse. Mais tout ce que j'essaie de faire, c'est de joindre les idées maths aux interprétations physiques, sans tomber dans une contradiction ou conflits entre les deux.

Je te rappelle que même si la réponse finale est que la vitesse d'une corps de masse "m" dans un espace où il y a de la gravitation, ne peut pas être discontinue, il faut donner des arguments convaincants, qui n'engendrent aucun conflit avec les notions mathématiques connues...

tu as changé ce que j'ai écrit dans mon dernier poste où je rêve là ?

c'est où le changement que tu as remarqué?! dans mon post ou le tien?

J'ai modifié le mien (sin au lieu de cos parce que je l'ai mis à la volée)

Nabil,
Même cette fonction que tu as réécrit n'est pas discontinue non plus lol.
Il y avait une phrase dans mon dernier poste qui disait : "Cette fonction n'est pas discontinue ". Bon, peut-être que je l'ai effacée imprudemment.

ahhh je me rappelle de cette phrase, que tu as postée ... je crois que c'est moi qui l'a éditée. J'ai cru que c'est mon message lol... bonh, de toute façon, tu as compris ce que je voulais dire à propos de la discontinuité ...

f(x) = cosx si sinx >=0 lol
f(x) = 0 sinon