Ensemble de points: Nombres complexes

Voilà ce que certains étudiants posent comme questions:

Bonsoir
Je suis en 2ième année de prépa scientifique (MP) et j'ai un soucis avec un exercice d'oral de type CCP. Il est écrit qu'il est abordable en MPSI.

Décrire dans le plan complexe le lieu des nombres complexes u=1+z+z², où z décrit le cercle unité.

J'ai réussis a trouver deux éléments de réponse, mais je ne vois vraiment pas où nous devons arriver...

z appartient au cercle unité donc z=exp(i*théta)
de plus, 1+z+z² est en réalité la somme d'une série géométrique de raison z=exp(i*théta)

en effet 1+z+z²=série(n=0,2) exp(i*théta)^n

Merci d'avance pour votre aide

Je vous invite vivement à répondre ...

où sont les taupins, la rentrée aux prépas c'est pour le 12 Septembre (année=2008) ...réviser un peu vos cours de maths.

Salut,

On peut juste étudier la répartition des points de exp(i*a) + exp(2*i*a) (a allant de 0 à 2*Pi), le "1" n'étant qu'une translation du vecteur unitaire de l'axe des abscisses.

Dans ce cas on a :

f(a) = exp(i*a) + exp(2*i*a) = exp(i*3*a/2) * [ exp(i*a/2) + exp(-i*a/2)] = 2*cos(a/2) * exp(i*3*a/2) //avec la formule d'euler : cos(b) = ( exp(i*b) + exp(-i*b) ) / 2

Si a appartient à [0 , Pi] alors f(a) = 2*cos(a/2) * exp(i*3*a/2) //Cas 1
Si a appartient à [Pi , 2*Pi] alors f(a) = 2*cos(Pi - a/2) * exp(i*[Pi + 3*a/2] ) //Cas 2 (Pour que le module reste positif)

Une équation des points en coordonnées polaires donne :

Pour le cas 1 :

r = 2*cos(a/2)
θ = (3*a)/2
donc : r = 2 * cos(θ/3) θ allant de 0 à 3*Pi/2

Pour le cas 2 :

r = 2*cos(Pi - a/2)
θ = Pi + (3*a)/2
donc : r = 2 * cos(θ/3 + 2*Pi/3) θ allant de 5*Pi/2 à 4*Pi

La représentation graphique de ces deux équations polaires donne ceci (cas 1 en rouge, cas 2 en vert) :



Avec la translation du vecteur unitaire qui nous manque, l'ensemble des points recherchés est comme ceci :



Cette courbe s'appelle "Limaçon de Pascal". Une équation simplifiée de cette figure est : r = 1 + 2*cos(θ) définie pour les valeurs de θ où r est positif.

Voilà

wow! travail très complet et bien organisé.
Ca révise le cours des nombres complexes, et les différentes astuces de factorisation, linéarisation.

Merci! (vive le matlab? ou Maple?)