suites

on considère la fonction f:IR\{0} -->IR définie par : f(x) = (x/n)+(n/x)
où n est un entier naturel non nul.

1) montrer que f est décroissante sur l'intervalle [0;n]
2) soit la suite A(n) où n<>0 définie par:

A(1)=1 et A(n+1) = A(n)/n + n/A(n)

montrer que pour tout n>=2 on a: sqrt(n) <= A(n) <= n/sqrt(n-1)

...

Gda.exe a écrit:...

bravo, c'est la bonne solution

où sont les matheux?

salut!!
alors pour la premiere question:
f'(x)=(1/n)-(n/x^2)=((x^2)-(n^2))/n x^2
il suffit de dresser un tableau de signe et obtient alors:
si x<-n et x>n-----> f'(x)>0---->f(x) est croissante
si xappartient à [-n;n]/0 alors f'(x) >0 d'où f(x)est decroissante en particulier sur l'intervalle ]0,n]
pour la seconde question:
on va poser x=A(n) et raisonner ainsi(par recurrence)
soit la proprité P ---> sqrt(n)<=A(n)<= n/sqrt(n-1)
on verifie si P est vrai pour n=2
A(2)=2--->sqrt(2)<=A(2)<= 2/sqrt1
--> P est vrai
on admet que P est vrai pour n
sqrt (n) <= A(n)<= n/sqrt(n-1)
on demontre que P est vrai pour n+1
soit sqrt(n+1)<= A(n+1)<= n+1/sqrtn

donc comme données on a
sqrt(n)<=A(n) <= n/sqrt(n-1)
A(n+1)=f(A(n))
et f est une fonction decroissante sur ]0,n]
f(n/sqrt(n-1))<= f(A(n))< f(sqrt(n))
or f(sqrt(n))=1+n/sqrtn
et f(n/sqrtn-1)=n/sqrt(n-1)(on compare le resultat à sqrtn+1 par simple difference)
donc
==========> sqrt(n+1)<=A(n+1)<=n+1/sqrt(n)
conclusion pour tout appartenat àN* P est vraie


wassaleeeeeem!!looooooool!!(j'espere que j'ai pa commis de betises )
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tout à fait nadou bien

mosa a écrit:où sont les matheux?

j'été matheuse mais je ne suis pas malheureusement.