[résolu]Est-il vrai que 1 = 0,99999999999... ?

Salut à tous,
J'ai trouvé intéressant d'étudier ensemble cette "énigme" mathématique...
Enjoy it.

Code:


Posons a=0,99999999999999 ... ( à l'infini )

Remarque : un nombre à la decimale infinie celà a un sens :
pensez à pi, racine de 2 ...
Prenons alors a le nombre qui a pour partie entière 0 et pour partie
décimale une suite infinie de 9.
    a=0,99999999999999... (1)
   
par définition
10×a = 9,99999999999999...  (2)
   
on multiplie par 10
10×a = 9 + 0,99999999999999... (3)
   
on sépare les parties entière et décimale du membre de droite
10×a = 9 + a (4)
   
par définition
10×a - a = 9 (5)
   
on retranche a aux deux membres
9×a = 9 (6)
   
    on utilise le fait que 10-1=9
a = 1 (7)
   
    on divise par 9 les deux membres

Question : est-il vrai que 1 = 0,9999999999999... ?

Admin a écrit:Salut à tous,
J'ai trouvé intéressant d'étudier ensemble cette "énigme" mathématique...
Enjoy it.

Code:


Posons a=0,99999999999999 ... ( à l'infini )

Remarque : un nombre à la decimale infinie celà a un sens :
pensez à pi, racine de 2 ...
Prenons alors a le nombre qui a pour partie entière 0 et pour partie
décimale une suite infinie de 9.
    a=0,99999999999999... (1)
   
par définition
10×a = 9,99999999999999...  (2)
   
on multiplie par 10
10×a = 9 + 0,99999999999999... (3)
   
on sépare les parties entière et décimale du membre de droite
10×a = 9 + a (4)
   
par définition
10×a - a = 9 (5)
   
on retranche a aux deux membres
9×a = 9 (6)
   
    on utilise le fait que 10-1=9
a = 1 (7)
   
    on divise par 9 les deux membres

Question : est-il vrai que 1 = 0,9999999999999... ?

Salut j'ai pensé en faite à formuler le problème autrement :
Posons a=0,99999999999999 ... ( à l'infini )
posons x=0.99999...999 avec n fois 9 après la virgule
x=1/1.00000...001 avec n fois 0 avant le 1 après la virgule
donc x=1/1+10exp(-n)
En se référant à l'énénoncé du problème pour n infini
nous formulons ainsi
lim x = lim 1/1+10^(-n)=1
n->+00 n->+00
Elementaire my dear admin !!!!

walid
On essaierai d'avoir une notation normalisée par tout le monde:

A PUISSANCE n <=> A^n
EXPONENTIEL(X) = exp(X)
RACINE CARREE (X) = sqrt(X)

etc...
ajouter d'autres formules si vous voulez.

Bonjour tout le monde, j'ai une ptite démonstration de la formule 1 = 0.99999(infinité de fois).

Soit a = 0.9999(inf)
Alors:
a = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
a = somme(9.(1/10)^k, k=1..+oo)
a = 9.somme((1/10)^k, k=1..+oo)

Calculons: somme((1/10)^k, k=1..+oo)
somme((1/10)^k, k=1..+oo) =
Limite[somme((1/10)^k, k=1..n), n tend vers l'infini]
C'est la limite de la somme d'une suite géométrique de rapport 1/10, et de premier terme 1/10.
La formule du cours donne:
somme((1/10)^k, k=1..n) = [1-(1/10)^n]/9
Sa limite est:
Limite[somme((1/10)^k, k=1..n), n tend vers l'infini] = 1/9.

On peut conclure que a = 1.

Trés belle démonstration

Admin a écrit:Autre question qui boulverse un peu ceux qui n'ont pas été convaincus par le fait que 0.99999(infini) = 1 :

Est-ce que 0.33333(infini) peut se mettre sous forme d'un quotient a/b?
Réponse = oui, c'est 1/3.

Est-ce que 0.9999(infini) peut se mettre sous forme d'un quotient a/b?

A vous de répondre !!!

D'aprés ta propre démonstration un peu ci-haut :
0.9999.... = 9*somme((1/10)^k, k=1..+oo)
avec : lim somme((1/10)^k, k=1..+oo) = 1/9

Justement manianis.
On ne peut jamais mettre 0.9999(infini) sous forme d'un quotient de deux nombres (a/b) [à part 1/1 biensur :p]

On entend par nombre rationnels purs, les nombres rationnels non entiers (l'ensemble Q privé Z).

Tous les nombres rationnels purs, lorsqu'ils sont écrits avec une firgule flottante, présentent une séquence infinie et périodique (après la virgule).

Exemple:
1/3 = 0.333(infini),
1/11 = 0,0909(infini)
1/7 = 0,142857 142857 142857 142857 142857...
2/13 = 0,153846 153846 153846 153846 153846...141/11 = 1,2727(infini)....
La réciproque est-elle vraie?
C'est-à-dire si on prend un nombre N écrit sous la forme décimale comme une séquence infinie périodique de chiffres après la virgule. Est-ce que N est forcément un rationnel pur?
On pourra illustrer la réponse par des exemples...