fonction (probléme d'angle maximal)

bonjours à tous ! j'ai un devoir de maths à rendre pour demain et je n'arrive pas cet exercice... si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympas !

on se propose de calculer la distance OM pour qu'un observateur situé en M au bord du quai sud voit le large sous un angle beta maximal, sa vue étant limitée par les extrémités A et B de deux jetées.

1) soit f la fonction définie sur [0;30] par f(x)= 30x/(x^2+400). Etudier les variations de f.

2) exprimer tan alpha et tan (alpha + beta) en fonction de x.

3) démontrer la formule tan (alpha + beta)= (tan alpha + tan beta)/ (1-tan alpha tan beta)et montrer que tan beta = f(x).

4) la distance OM est inférieur à 30 m. Déterminer x pour que tan beta et donc beta soit maximal. Donner une valeur approchée en degrés, à 10^-2 près, de la valeur maximale de beta.

J'ai réussi la question 2 et la première du 3 mais le reste j'ai un peu de mal.
l'image ci desous représente l'entrée d'un port breton
merci d'avance...

https://i.servimg.com/u/f49/12/09/53/51/dm_mat10.jpg

salam alaykom sofia08, pouvez vous vérifier le graphique car x n'existe pas et donc on ne peut pas répondre à la deuxiéme question

1ère question

f '(x) = (12000 - 30.x^2) / [(x^2+400)]^2

f '(x) = 0 <=> 12000 - 30.x^2 = 0 <==> x'= 20 ou x''= -20

f est définie sur [0;30] donc on rejette x''

sur [0;20[ , 12000 - 30.x^2 est positif donc f ' l'est aussi ==> f est croissante

sur [20;30[ , 12000 - 30.x^2 est négatif donc f ' l'est aussi ==> f est décroissante

si x= 20 , 12000 - 30.x^2 = 0 ==> f '(x) = 0 en changeant de signe (positif puis négatif) donc f admet un extremum relatif en 20

ah! x c'est OM donc:

2ème question:

tan (alpha) = 10/x

tan (alpha+beta) = 40/x

3ème question:

tu as réussi à démontrer la première relation qui est

tan (alpha + beta)= (tan alpha + tan beta)/ (1-tan alpha . tan beta)

tu procèdes comme suit a= b/c donc a.c = b

tu développes le membre à gauche puis tu mets tan (beta) en facteur et ensuite on obtient:

tan (beta) = [tan (alpha+beta) - tan (alpha)] / [1+tan (alpha).tan (alpha+beta)]

tu remplaces tan (alpha+beta) par 40/x et tan (alpha) par 10/x

tu vas trouver que tan (beta) = f(x)

4ème question:

tan (beta) est maximal signifie que f est maximale

d'après la première question, f est maximale en 20


donc beta maximal est tel que tan (beta) = f(20) = 3/4

==> beta = 36,869°

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