Dénombrement + nombre premier + carré parfait

wow, admirer cet exrecice :

On considère tous les nombres de 6 chiffres que l'on peut former en permutant les chiffres de 1 à 6.

1) Calculer la somme de ces nombres
2) Trouver le nombre de zéros qui terminent leur produit.
3) Montrer que l'un quelconque de ces nombres n'est ni premier ni carré parfait.

Cet exercice m'a beaucoup plu !!!

Pour la 1ère question, j'ai trouvé une belle méthode qui donne une réponse correcte. On peut même la généraliser...

On attend d'abord les participations des membres qui s'intéressent à ce topic.

a+

Pour la somme c'est pas difficile,

En mettant ces nombres les uns au-dessus des autres, une colonne a obligatoirement la même occurrence de 1 que de 2 que de 3 ...que de 6. Car : supposons par exemple qu'il y en a plus de 1 que de 2 dans une colonne, alors en permutant le 1 avec le 2 dans chaque nombre, on ne change rien du tout (les nombres restent uniques), mais bien sur on aura dans ce cas plus de 2 que de 1 dans notre colonne. C'est contradictoire puisque les nombres sont les mêmes. Donc obligatoirement (pour lever la contradiction) une colonne a la même occurrence de 1 que de 2 que de 3 ...que de 6.
D'un autre côté, on a exactement 6! = 720 nombres en tout (arrangement de 6 dans 6). Donc chaque chiffre se répète 720/6=120 fois dans chaque colonne. Donc la somme d'une colonne est 120*1 + 120*2 + 120*3 +...+120*6 = 120*6*7/2 = 2520.

On déduit la somme qui est :
2520 +
25200 +
252000 +
2520000 +
25200000 +
252000000
--------------------
=2520*(1+10+100+...+100000) = 2520 * 111111 = 279999720

salut,
j'ai fait un petit programme qui calcule cette somme! question d'être sur de la somme.
Il donne le même résultat.

Je vais le poster dans le topic approprié, proposé par informix dans la rubrique Informatique/lycée/exercices...

Sami, je pense qu'on peut démontrer le résultat, avec moins d'instructions et d'explication en français. Parce que ça l'air d'être très lié à la façon avec laquelle tu as compris la question...

methodiX a écrit:Sami, je pense qu'on peut démontrer le résultat, avec moins d'instructions et d'explication en français. Parce que ça l'air d'être très lié à la façon avec laquelle tu as compris la question...

j'ai pas compris ! lol.
C'est quoi ce dédoublement de mon poste?

bn

le dédoublement est du peut être au fait qu'on a tous les deux posté une réponse at the same time.

je bloque carrément sur les questions 2 et 3 de l'exo. Comment vous y prendriez vous pour y répondre ?

2) Trouver le nombre de zéros qui terminent leur produit.

Je n'ai pas compris cette question ??!!!

Est-ce que ça veut dire les zéros qui se trouvent à la fin (droite) du produit, ou bien, les zéros qui apparaissent dans n'importe quelle position du produit ???

Bonjour,

methodiX : c'est le nombre de zéros qui terminent le produit (à droite) et non tous les zéros. (c'est une question classique en dénombrement)

pour la deuxième question :

pour trouver le nombre de zéros qui terminent un nombre, il faut le décomposer en nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique) et chercher le minimum entre la puissance des 2 et celle des 5. Ce minimum est le nombre de zéros qui terminent ce nombre.
Par exemple : si n = 2^5 * 3^2 * 5^4 * 11 alors le minimum recherché est 4. Donc n se termine avec 4 zéros. n = 1980000.

Dans ce qui suit je nomme :
deux(n) = la puissance de 2 dans la décomposition en nombres premiers de n. (p.e. deux(1980000)=5)
cinq(n) = la puissance de 5 dans la décomposition en nombres premiers de n. (p.e. cinq(1980000)=4)
P = le produit définit par informix.

Dans notre cas le problème est qu'il faut chercher deux(P) et cinq(P). Mais puisque c'est un produit
deux(P) = somme( deux(n) , n appartenant à l'ensemble des nombre définis par informix)
cinq(P) = somme( cinq(n) , n appartenant à l'ensemble des nombre définis par informix)

à ce qui parait deux(P) > cinq(P) (car tout nombre qui finit par 2, 4, 6 est divisible par 2)

to be continued...

ça a l'air de mener vers quelques choses de correct !

Un autre problème, si n est un nombre 6ique (je le nomme ainsi ba9al taksir krayem!), alors il est divisible par 5 si il finit par 5 (ou par 0, mais y a pas de 0 ici). Mais qui nous dit qu'il n'est pas divisible encore une autre fois par 5 ? (c'est-à-dire divisible par 5^2).
Après un petit calcul (fastidieux je l'avoue), j'ai crée cette arborescence :

Si un nombre 6ique se termine avec une branche de cette arborescence (branche = chemin d'un nœuds vers la racine 5), alors il est divisible par 5 autant de fois qu'il y a de nœuds dans cette branche. Par exemple :
134625 se termine avec la branche 6 -- 2 -- 5 donc il est divisible trois fois par 5.
463125 se termine avec la branche 3 -- 1 -- 2 -- 5 donc il est divisible quatre fois par 5.

Ce qui reste est un exercice de dénombrement :
Le nombre de nombres 6iques se divisant par 5 : "Rectification après la remarque de Nabil"
une fois = 4*(4!) = 96
deux fois = 2*(3!) = 12
trois fois = 2*(2!) + (3!) = 10
quatre fois = 2! = 2

donc cinq(P) = 1 * 96 + 2 * 12 + 3 * 10 + 4 * 2 = 158

D'un autre côté, les nombres 6iques divisibles par 2 sont au nombre de 3*(5!) = 360 (ce sont ceux qui finissent par 2 ou 4 ou 6).
Donc deux(P) >= 360 (car il se peut qu'un nombre soit divisible plusieurs fois par 2).
On conclue que deux(P) > cinq(P).

Donc ma réponse est : il y a exactement 158 zéros qui finissent le produit que tu as définis infomix

Cordialement,

es tu certain de ce nombre ?
pour la suite, comment peux-tu la prouver ?

mmmm, je ne pense pas que c'est correct le 9540 zéros !!! de plus même si correct, il vaut mieux de douter un peu des résultats qu'on donne et ne pas être trop sûr.

je vais te dire pourquoi :

le produit de deux nombres formés respectivement de a chiffres et de b chiffres, et un nombre formé de a+b-1 chiffres, non?

donc par récurrence, le produit des 720 nombres est formé de : 720x5+1

((((6 + 6 - 1) + 6 - 1) + 6 - 1) + ... + ....) = 6+5x719 = 3601 chiffres !!!

Alors comment tu dis que le nombre de zéros est 9540 ???

cela remet tout en cause!

Je vais m'y pencher ... j'espère trouver un temps continu pour être concentré

Tu as absolument raison Nabil. J'ai foiré dans la partie facile (l'exercice de dénombrement...). En fait il faut mettre des factorielles et non des puissances. J'ai corrigé la faute dans mon poste précédent. Normalement ça doit être juste.

J'ai compris la fin mais pas le début du raisonnement : tu pourrais mieux me la faire comprendre. Je te remercie!

libert fais des copie/coller des parties que tu n'as pas compris, ainsi je pourrai t'aider.

"pour trouver le nombre de zéros qui terminent un nombre, il faut le décomposer en nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique) et chercher le minimum entre la puissance des 2 et celle des 5. Ce minimum est le nombre de zéros qui terminent ce nombre.
Par exemple : si n = 2^5 * 3^2 * 5^4 * 11 alors le minimum recherché est 4. Donc n se termine avec 4 zéros. n = 1980000.

Dans ce qui suit je nomme :
deux(n) = la puissance de 2 dans la décomposition en nombres premiers de n. (p.e. deux(1980000)=5)
cinq(n) = la puissance de 5 dans la décomposition en nombres premiers de n. (p.e. cinq(1980000)=4)
P = le produit définit par informix.

Dans notre cas le problème est qu'il faut chercher deux(P) et cinq(P). Mais puisque c'est un produit
deux(P) = somme( deux(n) , n appartenant à l'ensemble des nombre définis par informix)
cinq(P) = somme( cinq(n) , n appartenant à l'ensemble des nombre définis par informix)

à ce qui parait deux(P) > cinq(P) (car tout nombre qui finit par 2, 4, 6 est divisible par 2)"
et : "Un autre problème, si n est un nombre 6ique (je le nomme ainsi ba9al taksir krayem!), alors il est divisible par 5 si il finit par 5 (ou par 0, mais y a pas de 0 ici). Mais qui nous dit qu'il n'est pas divisible encore une autre fois par 5 ? (c'est-à-dire divisible par 5^2)."
c'est surtout la définition des "deux(n) " que j'ai pas comprises.

et qu'est ce que le 6ique ?

d'abord, il faut que tu saches que tout nombre peut être divisé en un produit de nombres premiers. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique.
deux(n) c'est la fonction qui pour tout entier n, elle te dit combien de fois ce "n" est divisible par 2. Il se trouve que c'est exactement le nombre de 2 que tu trouves dans la décomposition en nombres premiers de n. Par exemple 32 est divisible 5 fois par 2 (pas plus), donc deux(32)=5 . En même temps la décomposition de 32 en nombres premiers est 2^5.
cinq(n) c'est la même chose que deux(n) mais cette fois, il faut diviser avec 5.

J'ai introduit cette notation pour la simple raison que ce sont ces nombres ( cinq(n) et deux(n) ) qui permettent de savoir combien il y a de zéros à la fin de l'écriture de n. Un zéro à la fin se construit par un 5 multiplié par un 2 dans la décomposition de n. Donc il faut chercher combien il y a de couple (2,5) dans la décomposition de n, ce qui est la même chose que chercher le minimum entre deux(n) et cinq(n).
Pour résoudre la deuxième question, on met P (le produit des 6iques) à la place de n.

un nombre 6ique = un nombre à six chiffres qui se construit avec les chiffres de 1 à 6 (c'est pour alléger l'écriture)

J'espère que ça t'aide libert

ouép, mais pour les résultats, quels sont les nombres de la liste divisibles par 3125 ?

non je me plante, je confonds '4 fois divisble par 5 ' et divisible par 3125.
Es-tu absolument certain de tes résultats (juste pour confirmation en fait) ?

ben oui. On peut encore vérifier par l'informatique (un programme fait en un langage de programmation pourra confirmer ou infirmer le résultat).