[résolu]Différence de 2 carrés

Bonjour tout le monde, voici un petit exercice que j'ai créé :

Soit N un entier naturel.
Montrez que si N est un multiple de 4
alors il existe a et b entiers naturels tels que a² - b² = N

Ne pas oublier les SALUT, BONJOUR, et les BONSOIR, BYE ...



@+

N est un entier naturel et multiple de 4 donc N = 4.n avec n un entier naturel

N = 4.n

= n² + 4.n - n²

= n² + 2.n – n² + 2.n

= n² + 2.n + 1– n² + 2.n –1

= (n+1)² – (n-1)²

= a² – b²

a = n+1 et b = n-1
bien évidemment, a et b sont entiers naturels

Très élégante la démo!

mosa a écrit:a = n+1 et b = n-1
bien évidemment, a et b sont entiers naturels

Bon raisonnement

Bien trouvé mosa !

Petite extension
Soit ax² + bx + c = 0 une équation, avec a, b, c des rationnels, a non nul.
Que pouvez-vous dire si b = ac + 1 ?
Justifiez votre réponse.

je n'arrive pas à la solutin.

Remplacer b par ac+1, on trouve:
ax²+bx+c = ax²+acx+x+c

on fait une factorisation particulière:
ax²+acx+x+c = ax(x+c) + (x+c) = (x+c)(ax+1)

il y a toujours deux racines, -c et -1/a.

Bravo methodiX, je n'avais même pas pensé à cette façon de faire.
Elle est plus rapide que la mienne.

Je vais quand même proposer ma méthode :
Elle est basée sur le fait que (k + 1)² - (k - 1)² = 4k
Donc (ac + 1)² - (ac - 1)² = 4ac
C'est-à-dire (ac + 1)² - 4ac = (ac - 1)²
et comme b = ac + 1, on a :
b² - 4ac = (ac - 1)² >= 0

Si (ac - 1)² = 0, on a 1 racine double :
x = -b/(2a) = -(ac + 1)/(2a) = -(ac - 1 + 2)/(2a) = -2/(2a) = -1/a
On remarque que la racine est rationnelle.

Si (ac - 1)² > 0, on a 2 racines simples :
x₁ = (-b - (ac - 1))/(2a) = (-(ac + 1) - (ac - 1))/(2a) = (-2ac)/(2a) = -c
x₂ = (-b + (ac - 1))/(2a) = (-(ac + 1) + (ac - 1))/(2a) = -2/(2a) = -1/a
On remarque également que les 2 racines sont rationnelles.

On peut donc dire que si b = ac + 1, on aura soit 1 racine double rationnelle ou soit
2 racines simples rationnelles.

On peut alors facilement fabriquer des équations du second degré avec des solutions rationnelles, simplement en choisissant a et c au hasard (a non nul) et en prenant b = ac + 1.

On peut même étendre le problème avec b = ac/k + k, où k est un rationnel non nul.
Par le même raisonnement que methodiX, on a :
ax² + (ac/k + k)x + c = 0
ax * x + ax * c/k + kx + c = 0
ax(x + c/k) + k(x + c/k) = 0
(x + c/k)(ax + k) = 0
x = -c/k ou x = -k/a
Ce qui nous donne 2 solutions rationnelles.

On peut donc dire que pour créer des équations ax² + bx + c = 0 avec solutions rationnelles, on peut choisir a, c, k des rationnels (a, k non nuls) au hasard et prendre b = ac/k + k.

Bon raisonnement !

Salut, que pensez-vous de l'unicité de l'existence des a et b ?