Divergence d'une série

Bonsoir à toutes et tous,

Une question : le série Somme ( sigma(n)/n au carré ) diverge
t-elle ? ( sigma (n) étant un entier pris au hasard entre 1 et n ).

(j'ai piqué ça d'un forum français)

Où sont les taupains? les étudiants des prépas?

est ce que cette série est de reimann? normalement convergente!

Dés que l'énoncé a précisé que SIGMA(n) est une variable aléatoire de valeur 1,2,..,n, la série n'est plus de Riemann.

Mais rien n'empêche de penser au sens de Riemann.

Je dis que ça converge. (juste une intuition)

Il faut d'abord que vous sachiez que le sens de convergence d'une série à termes positifs ne change pas si on permute ses termes. En d'autres termes :
si Sn = somme(Un) converge (avec Un >=0)
alors S'n = somme(U perm(n)) converge aussi (vers la même limite).
perm étant une permutation de IN.

Mon problème est que j'ai pas pu démontrer que la probabilité que SIGMA ne donne plus de 1 à partir d'un certain rang est nulle.

Si c'est le cas, alors on pourra choisir une permutation des termes de la série en question et la comparer à la série de Riemann somme(1/n²) qui est convergente.

Mais d'abord, il faut montrer que SIGMA donne un nombre infini de 1

En plus, j'ai l'impression que cette démonstration requiert un axiome spéciale : l'axiome du choix

à vous de voir

Enfin tu es de retour:

Est-ce que tu penses encore qu'il y a de nouveaux axiomes à définir

Je me rappelle pas de la date du dernier axiome défini en mathématiques.

bonh, c'est une façon de voir les choses bien particulière (la permutation ...). De ma part, je vois autre chose: je garde plutôt le caractère "stochastique" de la suite proposée, et je m'arrête un moment devant la définition de LIMITE.

a+

nabiL a écrit:Enfin tu es de retour:

Est-ce que tu penses encore qu'il y a de nouveaux axiomes à définir

Je me rappelle pas de la date du dernier axiome défini en mathématiques.

bonh, c'est une façon de voir les choses bien particulière (la permutation ...). De ma part, je vois autre chose: je garde plutôt le caractère "stochastique" de la suite proposée, et je m'arrête un moment devant la définition de LIMITE.

a+

Oui je le suis pour de bon nabiL

Ben, je ne connais aucune date de sorti d'axiome moi. Mais je sais que la théorie des ensembles utilise plusieurs systèmes d'axiomes (ZF pour Zermelo Fraenkel , ZFC pour Zermelo Fraenkel + axiome du choix ...). Et que l'axiome du choix fait naitre des paradoxes dans cette théorie (un théorème qui utilise l'axiome du choix montre que le volume d'une boule est égale au volume de deux boules identiques à la première ....).

Est-ce que tu peux développer plus ta façon de voir ce problème ?

Pour le théorème qui utilise l'axiome du choix : c'est le paradoxe de Banach-Tarski.

Lien wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

Sami a écrit:Je dis que ça converge. (juste une intuition)

Il faut d'abord que vous sachiez que le sens de convergence d'une série à termes positifs ne change pas si on permute ses termes. En d'autres termes :
si Sn = somme(Un) converge (avec Un >=0)
alors S'n = somme(U perm(n)) converge aussi (vers la même limite).
perm étant une permutation de IN.

Mon problème est que j'ai pas pu démontrer que la probabilité que SIGMA ne donne plus de 1 à partir d'un certain rang est nulle.

Si c'est le cas, alors on pourra choisir une permutation des termes de la série en question et la comparer à la série de Riemann somme(1/n²) qui est convergente.

Mais d'abord, il faut montrer que SIGMA donne un nombre infini de 1

En plus, j'ai l'impression que cette démonstration requiert un axiome spéciale : l'axiome du choix

à vous de voir

Clairement cette serie ne peut pas converger pour tout sigma. prend sigma la fonction qui retourne toujours n, la serie est alors Hn qui diverge.

Al.

Clairement cette serie ne peut pas converger pour tout sigma. prend
sigma la fonction qui retourne toujours n, la serie est alors Hn qui
diverge.

Al.

Je ne soutiens pas trop cette affirmation... Sigma(n) ne peut pas retourner une infinité de fois "n".

En effet, pour parler de limite d'une suite, on tend "n" vers plus l'infini, càd, on s'intéresse au comportement d'une infinité de termes U(n) à partir d'un certain rang n0. Sigma(n) étant une variable aléatoire uniforme entre 0 et 1. Avoir une infinité de fois un Sigma(n)=1, à une probabilité "nulle" ! Par conséquent, avoir une infinité de fois, U(n) = 1/n a une probabilité nulle.

Désolé pour l'argumentation non rigoureuse.
A+

nabiL a écrit:

Clairement cette serie ne peut pas converger pour tout sigma. prend
sigma la fonction qui retourne toujours n, la serie est alors Hn qui
diverge.

Al.

Je ne soutiens pas trop cette affirmation... Sigma(n) ne peut pas retourner une infinité de fois "n".

En effet, pour parler de limite d'une suite, on tend "n" vers plus l'infini, càd, on s'intéresse au comportement d'une infinité de termes U(n) à partir d'un certain rang n0. Sigma(n) étant une variable aléatoire uniforme entre 0 et 1. Avoir une infinité de fois un Sigma(n)=1, à une probabilité "nulle" ! Par conséquent, avoir une infinité de fois, U(n) = 1/n a une probabilité nulle.

Désolé pour l'argumentation non rigoureuse.
A+

L'enonce dit que sigma(n) est un nombre entre 1 et n. Pour moi sigma est un parametre de l'enonce et c'est une fonction. Cette fonction peut bien etre l'identite, je ne vois pas le probleme. Rien ne dit que sigma est uniformement distribue ou qu'elle admet meme une distribution. Je ne comprend pas tres bien ton argument.

Al.

L'enonce dit que sigma(n) est un nombre entre 1 et n. Pour moi sigma
est un parametre de l'enonce et c'est une fonction. Cette fonction peut
bien etre l'identite, je ne vois pas le probleme. Rien ne dit que sigma
est uniformement distribue ou qu'elle admet meme une distribution. Je
ne comprend pas tres bien ton argument.

C'est vrai. L'énoncé ne définit pas rigoureusement le problème.
Si on pense que Sigma(n) est un simple paramètre, le problème devient "très" facile:

Pour que Somme(Sigma(n)/n²) converge, il suffit que Sigma(n)/n² soit du type a/n^b où b réel > 1. (se rappeler des séries de Riemann)

C'est pour cette raison qu'il vaut mieux compliquer un peu les choses

de plus, "un nombre choisi aléatoirement entre 1 et n" faisait toujours référence à l'aléatoire uniforme.

Une question : le série Somme ( sigma(n)/n au carré ) diverge
t-elle ? ( sigma (n) étant un entier pris au hasard entre 1 et n ).