Révision du BAC MATH (Suite défine par une intégrale)

Salut à tous,

On propose à ceux/celles qui révisent leur BAC section MATH l'exercice suivant:

B.NabiL a écrit:
Soit la suite suivante définie sur IN par: Un = intégral entre 0 et 1 de x^n.LOG(1+x).dx.
1. Déterminer le sens de variation de la suite Un. Est-elle convergente?
2. Montrer que Un est majorée par LOG(2)/(1+n).
3. Déduire la limite de Un en +oo.

Bonne chance.
B.NabiL

Référence = [Extrait de BAC/LIBAN]

Merci B.NabiL pour l'exercice proposé, les questionnnnnss proposées m'ont pousser à réviser bcppp d'astuces concernant le calcul d'intégrales.
Je trouve des difficultés dans l'inégalité Un<LOG2/(1+n). J'ai beau cherché mais en vainnn

Attendons la participation d'autres membres.

methodiX

salut methodix!!
alors pour la question n=2 de l'exercice proposé
on a Un = intégral entre 0 et 1 de x^n log(1+x)
donc 0<x<1===> 1<x+1<2==> log(1)<log(x+1)<log(2)
puis on multiplie par x^n (x>0==> x^n >0)
on obtient alors 0< x^n log(1+x)<x^n log(2)
ensuite il suffit d'integrer de 0 à 1 par rapport à x
====>0<Un<log(2)*l'integral entre 0 et 1 de x^n dx
[la primitive de x^n est (x^(n+1))/(n+1)] d'où
0<Un<log(2)/(n+1)

a+