Révision du BAC-MATH (fonction réciproque)

Salut,
Pour ceux et celles qui révisent leur BAC-MATH, on vous propose de résoudre cet exercice:

B.NabiL a écrit:
On considère la fonction f: x --> LOG(x+SQRT(1+x²)).
1. Etudier les variations de f
2. Montrer qu'elle admet une fonction réciproque g sur un intervalle I. Expliciter g.

Bonne révision
B.NabiL

Observateur a écrit:Il y a pas mal de bacheliers en Section MATH dans ce forum... on attend toujours vos propositions

B.NabiL

salut!!
le dodmaine de définition de cette fonction x--->log(x+sqrt(1+x^2) est tout R
(en effet, x+log(x+sqrt(1+x^2) x+sqrt(1+x^2)>0 pour x appartenant à R:
on pose Q=(x+sqrt(1+x^2) ;
si x>=o alors Q>0 et si x<0 alors on multiplie Q par son expression conjuguée et on obtient 1/(sqrt(1+x^2)-x) >0 )
pour la dérivée de cette fct
f'(x)=1/sqrt(1+x^2) ====>f'(x)> 0 donc f est croissante!!
f(R) =R;(pour la lim en +oo elle est evidente mais en -oo il suffit juste de multiplier Q par l'expression conjuguée et on obtient si x-->+oo
alors Q--->0 donc logQ-->-oo)

f est continiue sur R et elle est strictement croissante donc elle realise une bijection de R vers R d'où sa foction reciproque g(x)

g(x)=(-1+e^2x)/(2e^x)

j'espere que j'ai pas commis de bétises

nadou a écrit:salut!!
le dodmaine de définition de cette fonction x--->log(x+sqrt(1+x^2) est tout R
(en effet, x+log(x+sqrt(1+x^2) x+sqrt(1+x^2)>0 pour x appartenant à R:
on pose Q=(x+sqrt(1+x^2) ;
si x>=o alors Q>0 et si x<0 alors on multiplie Q par son expression conjuguée et on obtient 1/(sqrt(1+x^2)-x) >0 )
pour la dérivée de cette fct
f'(x)=1/sqrt(1+x^2) ====>f'(x)> 0 donc f est croissante!!
f(R) =R;(pour la lim en +oo elle est evidente mais en -oo il suffit juste de multiplier Q par l'expression conjuguée et on obtient si x-->+oo
alors Q--->0 donc logQ-->-oo)

f est continiue sur R et elle est strictement croissante donc elle realise une bijection de R vers R d'où sa foction reciproque g(x)

g(x)=(-1+e^2x)/(2e^x)

j'espere que j'ai pas commis de bétises

Bravo nadou,
En fait, tout est correct sauf une petite faute de frappe. Reste à ce que tu nous indiques honnêtement en combien de temps tu mets pour trouver la solution et la rédiger

B.NabiL

détaillons la démarche:

y = f(x)

==> y = Log(x+sqrt(x^2+1))

==> exp(y) = x+sqrt(x^2+1)

==> exp(y)-x = sqrt(x^2+1)

==> (exp(y)-x)^2 = (sqrt(x^2+1))^2

==> exp(2y) - 2*exp(y)*x + x^2 = x^2 + 1

==> exp(2y) - 2*exp(y)*x = 1

==> x = (exp(2y)-1)/2*exp(y)

d'où g la fonction réciproque de f est telle que
IR ---> IR
x |---> (exp(2x)-1)/2*exp(x)

==> ou bien <==> ?

merci c'est l'équivalence <==>

bonsoir, je galére depuis une heure sur le meme truc ,alors voila f une fonction définit sur [-pi/4 ,pi/4[
f(x)= (1+tanx)/(1-tanx)
g la bijection de f
comment montrer que g'(x)=1/(1+x²) ?!!!
bon je sais que faudrait commencé par expliciter x en fonction de y
y=(1+tanx)/(1-tanx) mais là je séche sur celle ci comment faire svp ?
merci