[résolu]Dialogue des deux mathématiciens !

Le but de ce problème est de trouver 2 nombres entiers entre 2 et 100.

2 mathématiciens P et S dialoguent pour trouver ces 2 nombres.
P et S savent que ces 2 nombres sont entre 2 et 100.
P connait le produit.
S connait la somme.

Voici le dialogue :
P : Je ne peux pas trouver.
S : Je le savais.
P : Alors j'ai trouvé.
S : Moi aussi.

A vous de trouver ces 2 nombres !

Très sympa comme énigme.
Merci pour la participation...

J'avoue que c'est un peu dur et originale comme conversation.
J'ai rencontré cette énigme il y a quelques années, mais, je ne me rappelle pas de la solution, ni du raisonnement qui mène à la solution.
Donc, je dois me remettre dans le bain.

Mais à 1ère vue, il ne s'agit pas d'un problème mathématique où la solution provient d'une équation.

Je vais m'y pencher vous aussi ... participer!
a+

justement je pense pas que c'est un problème d'équation.
il me parait qu'il faut concentrer sur les paroles et les liaisons entre les phrases.
les 2 nombres se trouvent entre 2 et 100 et non pas entre 3 et 100 ou 5 et 100
et on a 2 mathématiciens...

bonh, comme je l'ai imaginé au début, le problème ne nécessite pas vraiment des maths (2 mathématiciens) pour qu'il soit résolu. La solution que j'ai trouvée (si j'ai bien compris l'énoncé) ne nécessite pas des connaissances approfondies en maths. Juste le bon sens.

Bref, j'ai trouvé plusieurs solutions (x,y) qui satisfassent les conditions de l'énigme.
Je cite par exemple: (x,y)=(2,9) ou (7,10) ou aussi (8,9)...

à vous de me contredire.
a+

Ce ne sont pas les bonnes solutions !
Il n'y a qu'un seul couple solution entre 2 et 100.
Au delà, il y en aurait d'autres.

Il ne s'agit pas aussi de dire uniquement
"ce ne sont pas les bonnes solutions!"

mais d'expliquer pourquoi elles sont fausses. Explique si tu peux sans donner des indications sur la vraie solution.

Dis par exemple pourquoi (2,9) ne peuvent pas être les x et y cherchés?

Si la solution était (2, 9), alors le produit serait 18 et la somme 11.
Pour les 3 premières répliques, il n'y a pas de problème.
Cette solution bloque au niveau du "Moi aussi".
S ne peut pas savoir si la solution est (2, 9), ou encore (4, 7) dont la somme est 11, car il n'y a également pas de problème au niveau des 3 premières répliques pour (4, 7).

J'ai trouvé une formulation de l'énigme :

Soit deux nombres entiers m et n compris entre 2 et 100. On
donne à Monsieur P la valeur mn et on donne à Madame
S la valeur m + n. Voici le dialogue entre ces 2 personnes :

Monsieur P : Je ne peux pas trouver la valeur de
la somme.
Madame S: Je le savais déjà!
Monsieur P: Ah bon! Alors j'ai trouvé la somme.
Madame S: Maintenant, moi aussi, je connais le
produit.

Quelles sont les valeurs de m et n?

Je n'ai pas comment compris comment faire mais si vous vous plantez comme moi jetez un coup d'oeil ici : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] (~280 Ko)

Voici même un programme en C qui ne fonctionne pas bien (je n'en suis pas auteur) :

Code:

#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;

short int *premier;
typedef struct {
  unsigned int taille;
  unsigned int *t;}tab;

int init_premiers(){
  int i,j;

  premier=(short int*)malloc(101*sizeof(short int));
  for(i=2;i<=100;i++) premier[i]=1;
  for(i=2;i<=7;i++)
  {
  j=2;
  while(i*j<=100) premier[i*j++]=0;
  }
}

int est_pair(int x){
  float y=x;
  return (y/2.0==x/2);
}

tab* sommes(int p){

tab *res;
int i;
float f=p;

res=(tab*)malloc(sizeof(tab));
res->taille=0;
res->t=(unsigned int*)malloc(sizeof(unsigned int));
for(i=2;i<=p/i;i++) if(f/i==p/i)
  {
    res->taille++;
    res->t=(unsigned int*)realloc(res->t,(res->taille+1)*sizeof(unsigned int));
    res->t[res->taille]=p/i+i;
  }
  return res;
}

tab* produits(int s){

tab *res;
int i;
float f=s;

res=(tab*)malloc(sizeof(tab));
res->taille=0;
res->t=(unsigned int*)malloc(sizeof(unsigned int));
for(i=1;i<=s/2;i++)
  {
    res->taille++;
    res->t=(unsigned int*)realloc(res->t,(res->taille+1)*sizeof(unsigned int));
    res->t[res->taille]=i*(s-i);
  }
  return res;
}


int main(){

int i,j,k;
unsigned int x,y,s,p,s2,s1=0;
unsigned int p2,p1=0;
int produit,somme,cpt,cpts,cptp;
tab *tabs,*tabp;
int type_arret;

init_premiers();

printf("Deux nombres inconnus x et y. Deux personnes P et S en connaissent\n");
printf("respectivement le produit et la somme. Conversation entre P et S:\n");
printf("P:\"Je ne peux pas les trouver.\"\nS:\"Je le savais.\"\n");
printf("P:\"Eh bien alors je les connais.\"\nS:\"Donc moi aussi.\"\n");
printf("Que valent x et y ?\n\n");
printf("Entrez les nombres x et y que vous voulez tester :\n");
printf("(Ctrl+C Entree pour terminer)");
for(;;)
{
  printf("\nx ? "); scanf("%d",&x);
  printf("y ? "); scanf("%d",&y);
  produit=x*y; somme=x+y;
  type_arret=0;
  printf("Somme: %d    Produit: %d\n",somme,produit);

  /* TEST 1 */
  if (premier[x] && premier [y]) {type_arret=1; goto fin;}

  /* TEST 2 */
  for(i=2;i<=somme/2+1;i++) if(premier[i] && premier[somme-i])
    {type_arret=2; goto fin;}

  /* TEST 3 */
  cpts=0;
  tabs=sommes(produit);
  for(i=1;i<=tabs->taille;i++)
  {
    s=tabs->t[i];
    cpt=0;
    for(j=2;j<=s/2+1;j++)
    {
      if(premier[j] && premier[s-j])
      { cpt++; if (cpt>1) goto fin2; }
    }
    if (cpt==0) {s2=s1; s1=s; cpts++;}
    fin2: ;
  }
  if (cpts>1) {type_arret=3; goto fin;}
  if (cpts==0) {type_arret=4; goto fin;}
  free(tabs);

  /* TEST 4 */
  tabp=produits(somme);
  cptp=0;
  for(k=1;k<=tabp->taille;k++)
  {
    p=tabp->t[k];
    cpts=0;
    tabs=sommes(p);
    for(i=1;i<=tabs->taille;i++)
    {
      s=tabs->t[i];
      cpt=0;
      for(j=2;j<=s/2+1;j++)
      {
        if(premier[j] && premier[s-j])
        { cpt++; if (cpt>1) goto fin3;}
      }
      if (cpt==0) cpts++;
      fin3:
      free(tabs);
    }
    if (cpts==1) {p2=p1; p1=p; cptp++;}
  }
  if (cptp>1) {type_arret=5; goto fin;}
  if (cptp==0) {type_arret=6; goto fin;}
  /* Ici, x et y sont solutions, car il n'y a eu aucun saut vers "fin:".*/
  fin:
  switch (type_arret)
  {
  case 0: printf("C'est la solution de l'enigme !\n"); break;
  case 1: printf("%d et %d sont premiers, donc P peut tout de suite trouver les 2 nombres.\n",x,y);
          printf("(Erreur a la phrase 1.)\n"); break;
  case 2: printf("S peut imaginer un produit de deux nombres premiers (%d et %d), ce qui\nne peut pas lui permettre d'affirmer que P ne peut pas trouver.\n(Erreur a la ligne 2)\n",i,somme-i);
          break;
  case 3: printf("Parmi les sommes que P peut s'imaginer, il y en a plusieurs (par exemple %d\net %d) qui auraient permis a S de dire la deuxieme phrase.\nEn effet, ces deux sommes permettent d'imaginer toutes les deux des produits\nde nombres premiers.\n",s1,s2);
          printf("(Erreur a la phrase 3.)\n"); break;
  case 4: printf("Parmi les sommes que P peut s'imaginer, aucune ne permettrait a S de dire\nla deuxieme phrase\n(Erreur a la phrase 3.)\n");
          break; /* Ce cas n'arrive en theorie jamais */
  case 5: printf("S peut s'imaginer plusieurs produits pouvant donner l'implication\nligne 2=>ligne 3 (par exemple %d et %d). Or, pour qu'il trouve en ligne 4,\nil ne doit y avoir qu'un produit imaginable qui puisse convenir.\n",p1,p2);
          printf("(Erreur a la phrase 4.)\n"); break;
  case 6: printf("S ne peut s'imaginer aucun produit qui permette l'implication\nligne 2=>ligne 3.  Or, pour qu'il trouve en ligne 4,\nil doit y avoir un et un seul produit imaginable qui puisse convenir.\n");
          printf("(Erreur a la phrase 4.)\n"); break;
          /* Ce cas n'arrive en theorie jamais */
  default:;

  }
  free(tabs); free(tabp);
}

}

Voici une autre énigme :

* * *
* * *
* * *

Le but du jeu est de relier les 9 points avec 4 traits, sans lever le crayon.

mais si, silv1:

regarde bien:
S = 11, donc S sait bien que P ne peut jamais connaitre (x,y) parce que
en décomposant S, on aura:
S = 11 = 2 + 9 => (x,y)=(2,9) => P = 18
S = 11 = 3 + 8 => (x,y)=(3, => P = 24
S = 11 = 4 + 7 => (x,y)=(4,7) => P = 28
S = 11 = 5 + 6 => (x,y)=(5,6) => P = 30

et pour chaque couple (x,y) cité ci-dessus, le produit résultant P se décompe en plus que deux facteurs premiers, car sinon, S n'aurait jamais osé dire "Je le savais"...
Je m'explique:
Pour P = 18, on a les décompositions suivantes:
18 = 2 x 9
= 3 x 6
Pour P = 24, on a les décompositions suivantes:
24 = 2 x 12
= 3 x 8
= 4 x 6
etc...

D'autre part, le mathématicien P qui a le produit 18, raisonne comme suit :

18 est le produit de deux entiers x et y :
18 = 2 x 9 => (x,y)=(2,9) => S = 11
18 = 3 x 6 => (x,y)=(3,6) => S = 9

Lorsque P entend S dire "Je le savais", il procède comme suit:
Quels sont les couples (x,y) parmi (2,9) et (3,6) qui donnent une somme S telle que si on la décompose en sommes de deux nombres, on ne trouve jamais des couples qui ont un produit qui se décomposent en un produit de deux nombres premiers! car dans ce cas, P aurait deviné (x,y) dès le départ. (c'est difficile à exprimer)

Alors, P reprend ses calculs. Il commence par exemple par:
18 = 3 x 6 => (x,y)=(3,6) => S = 9
Il décompose 9:
9 = 4 + 5 => (x,y)=(4,5) => P = 20, POSSIBLE!
9 = 2 + 7 => (x,y)=(2,7) => P = 14, IMPOSSIBLE, donc REJETER 9.

Il passe ensuite à l'ypothèse suivante:
18 = 2 x 9 => (x,y)=(2,9) => S = 11
Il décompose 11:
11 = 5 + 6 => (x,y)=(5,6) => P = 30, POSSIBLE.
11 = 4 + 7 => (x,y)=(4,7) => P = 28, POSSIBLE.
11 = 3 + 8 => (x,y)=(3, => P = 24, POSSIBLE.
11 = 2 + 9 => (x,y)=(2,9) => P = 18, POSSIBLE.

Conclusion, il décide que l'hypothèse
18 = 2 x 9 => (x,y)=(2,9) => S = 11
est la correcte.

D'où il s'agit bien de (x,y)=(2,9).

Le commentaire de silv1 indique que ce raisonnement ne permet pas à S de déduire à son tour les (x,y)... peut être qu'il a raison silv1.

Si je trouve du temps, je continuerai à réfléchir

manianis a écrit:Voici une autre énigme :

* * *
* * *
* * *

Le but du jeu est de relier les 9 points avec 4 traits, sans lever le crayon.

manianis stp mets cette énigme dans un sujet à part

silv1 a écrit:Le but de ce problème est de trouver 2 nombres entre 2 et 100.
2 mathématiciens P et S dialoguent pour trouver ces 2 nombres.
P connait le produit.
S connait la somme.
Voici le dialogue :
P : Je ne peux pas trouver.
S : Je le savais.
P : Alors j'ai trouvé.
S : Moi aussi.

A vous de trouver ces 2 nombres !

P : Je ne peux pas trouver. ===> trouver quoi? S ou les deux nombres (x,y) ?
je pose la question car manianis a posté un sujet pareil, et il s'agissait de trouver P et S puis en déduire x et y !!!

manianis a écrit:Voici même un programme en C qui ne fonctionne pas bien (je n'en suis pas auteur) :

Code:

#include
#include

using namespace std;

short int *premier;
typedef struct {
  unsigned int taille;
  unsigned int *t;}tab;

int init_premiers(){
  int i,j;
}

le programme se plante si on teste par x=2 et y=9 par exemple

Je ne peux pas trouver implique ne pas trouver les 2 nombres, mais ne pas trouver la somme revient presque au même, car il n'est pas difficile de trouver les 2 nombres en ayant la somme et le produit.

silv1 a écrit:Je ne peux pas trouver implique ne pas trouver les 2 nombres, mais ne pas trouver la somme revient presque au même, car il n'est pas difficile de trouver les 2 nombres en ayant la somme et le produit.

d'accord silv1. je vais essayer...

silv1 a écrit:Si la solution était (2, 9), alors le produit serait 18 et la somme 11.
Pour les 3 premières répliques, il n'y a pas de problème.
Cette solution bloque au niveau du "Moi aussi".
S ne peut pas savoir si la solution est (2, 9), ou encore (4, 7) dont la somme est 11, car il n'y a également pas de problème au niveau des 3 premières répliques pour (4, 7).

j'ai pas compris comment ça marche pour les 3 trois premières répliques

Quant à moi, j'ai senti une incohérence dans l'énoncé de l'énigme!

L'information disponible pour chaque mathématicien est:
1. Soit la somme, soit le produit.
2. La conversation complète.

alors que nous, on ne dispose que de:
2. la conversation complète.

Comment ça se fait qu'on puisse être capable de trouver les nombres x et y? on manque d'info par rapport aux mathématiciens!!!

mosa: nabiL a expliqué à travers un long exemple comme ça marche pour les 3 premières répliques!

salut à tous:

silv1 avait raison hier. J'ai ignoré la dernière replique qui constitue une indication très importante.
Mais avec tout ça, j'ai trouvé un ensemble réduit de solutions que je trouve TOUTES logiques, respectant la totalité des contraintes du problème!

Regardez la figure ci-dessous:

Au fait, je me suis peut-être mal expliqué, mais il faut savoir que les mathématiciens savent eux aussi que les 2 nombres sont entre 2 et 100 :
Ce qui élimine les solutions (4, 61), (16, 73) et (64, 73).
Dans le cas de (4, 61) par exemple, le produit est :
244 = 4 * 61 = 2 * 122.
Donc P aurait trouvé directement la solution (4, 61) car 122 > 100.
Sinon (4, 13) est la bonne solution, donc bien joué Nabil !

Par ailleurs, (4, 61) conviendrait si on élargissait l'intervalle [2, 100] à [2, sup] avec sup >= 122.
IL pourrait donc être intéressant de trouver les solutions pour des valeurs de sup plus élevées.

je vais poster un programme qui te permets de saisir "sup" et te donne toutes les solutions inférieures à "sup".
Je l'ai implémenté en PASCAL.
Mais pour le moment, laissons les autres essayer et comprendre de quoi il s'agit.

Merci à toi aussi pour cette énigme, elle est vraiment EXTRA !!
@+

nabiL?
SVP pouvez-vous poster le code source du programme que vous avez développé pour résoudre cette énigme embettante?


merci