Exercice arithmétique

Énoncé de l'exercice:

tout chiffre ab tel que a<>b possède une liste appelée "liste vers 9". le principe est le suivant: on calcule la différence en valeur absolue entre ab et son symétrique ba; on répète ce traitement pour le résultat obtenu jusqu'à obtenir une différence =9. l'ensemble constitué par le nombre initial et les résultats des différences est appelé "liste vers 9".

Exemple: pour x=18

81-18=63
63-36=27
72-27=45
54-45=9
la liste vers 9 de l'entier x est: 18 63 27 45 9

L'idée de la liste vers 9 est excellente. Ca peut servir comme modèle pour construire de nouveaux exercices qui ressemblent à celui ci. Merci encore une fois pour les exercices Sasouki.

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sasouki a écrit:Énoncé de l'exercice:

tout chiffre ab tel que a<>b possède une liste appelée "liste vers 9". le principe est le suivant: on calcule la différence en valeur absolue entre ab et son symétrique ba; on répète ce traitement pour le résultat obtenu jusqu'à obtenir une différence =9. l'ensemble constitué par le nombre initial et les résultats des différences est appelé "liste vers 9".

Exemple: pour x=18

81-18=63
63-36=27
72-27=45
54-45=9
la liste vers 9 de l'entier x est: 18 63 27 45 9

Voilà une petite démonstration mathématique qui prouve l'existence de cette liste "vers 9 de l'entier AB":
AB = 10*A+B
BA = 10*B+A
Soit K=|AB-BA| = |10*(A-B) - (A-B)| = 9*|A-B|
Donc le nombre K(n) est toujours multiple de 9.
Pour être plus proche des données de l'exercice, on pose "i" une fonction qui transforme tout entier AB en son image BA.
On pose aussi K(AB,BA,n) = |AB-i(AB)| à la n-ième itération de l'algorithme indiqué dans l'exercice.
K(1) = |AB - i(AB)| = 9|A-B|
K(2) = |K(1) - i(K1)|
......
Il faut prouver que K(n) est une suite qui converge vers '9'.
L'ensemble {K(1),K(2),...,K(n)} n'est autre que "la liste vers 9" cherchée.
à suivre...

mais tu ne démontres pas la convergence
pour ça si quelqu'un qui a du courage, il peut essayer d'appliquer l'algorithme a tout les multiple de 9 de 9 à 90
ce qui prouve la convergence de l'algorithme

skah a écrit:mais tu ne démontres pas la convergence
pour ça si quelqu'un qui a du courage, il peut essayer d'appliquer l'algorithme a tout les multiple de 9 de 9 à 90
ce qui prouve la convergence de l'algorithme

C'est pour cette raison il est écrit "à suivre..."
La démonstration n'est pas encore achevée.

Voilà une petite démonstration mathématique qui prouve l'existence
de cette liste "vers 9 de l'entier AB":
AB = 10*A+B
BA
= 10*B+A
Soit K=|AB-BA| = |10*(A-B) - (A-B)| = 9*|A-B|
Donc le
nombre K(n) est toujours multiple de 9.
Pour être plus proche des
données de l'exercice, on pose "i" une fonction qui transforme tout
entier AB en son image BA.
On pose aussi K(AB,BA,n) = |AB-i(AB)| à
la n-ième itération de l'algorithme indiqué dans l'exercice.
K(1) =
|AB - i(AB)| = 9|A-B|
K(2) = |K(1) - i(K1)|
......
Il faut
prouver que K(n) est une suite qui converge vers '9'.
L'ensemble
{K(1),K(2),...,K(n)} n'est autre que "la liste vers 9" cherchée.
à
suivre...

Suite de la démo:

Essayons d'exprimer i(X) en fonction de X (X est entier entre 10 et 99)

i(X) = (X mod 10) * 10 + (X div 10)
X s'écrit autrement aussi:
X = (X div 10) * 10 + (X mod 10)

Essayons de prouver que K(n) est décroissante:
K(n+1) = |K(n) - i(K(n))|
= |K(n) - ((K(n) mod 10) * 10 + (K(n) div 10))|
= |(K(n) div 10) * 10 + (K(n) mod 10) - (K(n) mod 10) * 10 - (K(n) div 10)|
= |(K(n) div 10) * 9 - (K(n) mod 10) * 9|
= 9 * | (K(n) div 10) - (K(n) mod 10) |

à suivre ...

tu compliques les choses pour rien
la différence entre a et b et au plus 9

81-18=63
63-36=27
72-27=45
54-45=9

deja tout a été fait ici
ce qui prouve la convergence en fin de compte