limite d'une suite réelle

salut! est ce qu'on peut utiliser le raisonnement par récurrence pour déterminer que la limite d'une suite réelle?je viens de faire un exercice sur les suites réelles les données sont le premier terme U0 ET L'expression de Un+1 en fonction de Un puis il nous demande de montrer qu'elle est croissante puis montrer que la limite est +infinie.merci d'avance

Oui. On peut le faire.

Si Un+1 = f(Un) et Un vérifie certaines conditions (continuité, ...) alors, si Un converge, sa limite L vérifiera f(L) = L.

j'ai pas vraiment compris surtout ici la limite est +infinie donc il n'ya pas d'image par f

Si la suite est divergente, alors, tu n'auras pas à démontrer que f(L)=L puisque L=+oo.

Poste l'essentiel de l'exercice pour qu'on puisse voir ce qui est demandé.

Ah OK. J'ai cru que tu veux démontrer par récurrence que Un converge.

Essaie de chercher une expression qui tend vers l'infini, et qui est toujours majorée par Un...

l'expression c'est U(n+1)=U(n)+1/2U(n)+1et U0=1

U(n+1) = f(U(n)) avec f(x) = x+1/(2x+1).

U est croissante pour la simple raison que f(x) > x pour tout x>0.
Donc U(n+1) > U(n) après avoir montré que U(n) > 0 bien sur.

Supposons que U est convergente vers L, alors L = f(L) ce qui implique que 1/(2L+1) = 0 => impossible. Ce raisonnement montre que U est divergente.