limite d'une suite réelle
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limite d'une suite réelle
salut! est ce qu'on peut utiliser le raisonnement par récurrence pour déterminer que la limite d'une suite réelle?je viens de faire un exercice sur les suites réelles les données sont le premier terme U0 ET L'expression de Un+1 en fonction de Un puis il nous demande de montrer qu'elle est croissante puis montrer que la limite est +infinie.merci d'avance
oummary- Entier Naturel
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Re: limite d'une suite réelle
Oui. On peut le faire.
Si Un+1 = f(Un) et Un vérifie certaines conditions (continuité, ...) alors, si Un converge, sa limite L vérifiera f(L) = L.
Si Un+1 = f(Un) et Un vérifie certaines conditions (continuité, ...) alors, si Un converge, sa limite L vérifiera f(L) = L.
Napoléon- Admin
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Re: limite d'une suite réelle
j'ai pas vraiment compris surtout ici la limite est +infinie donc il n'ya pas d'image par f
oummary- Entier Naturel
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Re: limite d'une suite réelle
Si la suite est divergente, alors, tu n'auras pas à démontrer que f(L)=L puisque L=+oo.
Poste l'essentiel de l'exercice pour qu'on puisse voir ce qui est demandé.
Poste l'essentiel de l'exercice pour qu'on puisse voir ce qui est demandé.
Napoléon- Admin
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Re: limite d'une suite réelle
Ah OK. J'ai cru que tu veux démontrer par récurrence que Un converge.
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Re: limite d'une suite réelle
Essaie de chercher une expression qui tend vers l'infini, et qui est toujours majorée par Un...
Napoléon- Admin
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Re: limite d'une suite réelle
l'expression c'est U(n+1)=U(n)+1/2U(n)+1et U0=1
oummary- Entier Naturel
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Re: limite d'une suite réelle
U(n+1) = f(U(n)) avec f(x) = x+1/(2x+1).
U est croissante pour la simple raison que f(x) > x pour tout x>0.
Donc U(n+1) > U(n) après avoir montré que U(n) > 0 bien sur.
Supposons que U est convergente vers L, alors L = f(L) ce qui implique que 1/(2L+1) = 0 => impossible. Ce raisonnement montre que U est divergente.
U est croissante pour la simple raison que f(x) > x pour tout x>0.
Donc U(n+1) > U(n) après avoir montré que U(n) > 0 bien sur.
Supposons que U est convergente vers L, alors L = f(L) ce qui implique que 1/(2L+1) = 0 => impossible. Ce raisonnement montre que U est divergente.
Napoléon- Admin
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