[Résolu]La chèvre de Monsieur Segiun

Encore avec ses problèmes cette chèvre ...


Le problème :

Monsieur Seguin a un pré carré de côté 'a', et une chèvre qu'il attache par une corde au milieu d'un des côtés du pré.

Quelle doit être la longueur (R) de la corde pour que la chèvre de Monsieur Seguin ne mange que la moitié de l'herbe du pré ?


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Quelle doit être la longueur (R) de la corde pour que la chèvre de Monsieur Seguin ne mange que la moitié de l'herbe du pré

aire du pré carré = 2 * aire du cercle où la chevre se deplace

a² = 2 ∏ R²

R= a / √ ( 2 ∏ )

Lamia malheureusement c'est pas la bonne réponse :

la chèvre est rattachée au milieu d'un coté du carré et non pas au milieu du carré. Donc l'aire balayée par la chèvre de Monsieur Seguin est l'aire d'un demi-cercle de rayon R si ce rayon est inférieur ou égal à "a/2"...

il faut envisager tous les cas ...

Ah en lisant l'ennoncé j'ai lu au milieu du carré, je sais pas quel ennoncé j'ai lu

moi aussi je me suis trompé au début ... mais comme tu le sais bien, j'ai pas assez de temps libre pour me concentrer ...

aire du demi cercle que la chevre balaye = 1/2 ∏ R² = 1/2 a²
=> R = a √∏ ce qui donne que R est plus grand que a

Mais dans ce cas la chevre ne pourra pas manger exactement la moitié de l'herbe du pré mais moins

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Comment calculer un aire de la forme colorée en rouge dans mon schema?

Tu es sur la bonne voie ... au moins tu as distingué le cas où R > a/2.

En fait IL FAUT que R > a/2 .

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L'air de la surface délimitée par une corde dans un cercle (en vert) est :

S = (1/2)* R² * ( a-sin(a) )

avec :
a = alpha = l’angle (en radian) que font les deux demi-droites [OA) et [OB).
R = Rayon du cercle.

Sami a écrit:En fait IL FAUT que R > a/2 .

Je vois pas déjà un autre cas.

Sami a écrit:[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]

L'air de la surface délimitée par une corde dans un cercle (en vert) est :

S = (1/2)* R² * ( a-sin(a) )

avec :
a = alpha = l’angle (en radian) que font les deux demi-droites [OA) et [OB).
R = Rayon du cercle.

Merci pour la formule.

Alors:

1/2 a² = 1/2 ∏ R² - [(1/2)* R² * ( alpha-sin(alpha) )]
R² = a² / [∏ - ( alpha-sin(alpha) )]

D'où R = a/ √[∏ - ( alpha-sin(alpha) )] (alpha reste inconnu )

c'est ça?

on a :

cos(alpha/2) = (a/2)/R

donc
alpha = 2*arccos(a/2R)

alpha dépend de R

Trop avancé pour moi ces formules, j'ai qu'un petit peu de bagages qui reste depuis mon bac maths...

lamia a écrit:Trop avancé pour moi ces formules, j'ai qu'un petit peu de bagages qui reste depuis mon bac maths...

C'est pas si compliqué que ça parait. Arccos est juste la fonction réciproque du cosinus allant de [-1,1] vers [0,Pi].

Pour l'énigme, il y a une méthode plus....simple. Bon, il y a toujours un arc-quelque-chose...
On peut diviser l'espace balayé par la chèvre en trois partis : un arc
de cercle d'angle alpha, et deux triangles rectangles égaux :

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S = (1/2)*alpha*R^2
or
sin(alpha/2)=a/2R
donc
alpha = 2*arcsin(a/2R)
d'où
S = R^2 * arcsin(a/2R)

S1=S2= (a/4) * sqrt(R^2 - a^2/4)

donc
St = S + S1 + S2 = R^2 * arcsin(a/2R) + (a/2) * sqrt(R^2 - (a^2)/4) = (a^2)/2

c'est une équation à un inconnu qui est R. On peut éliminer l'arcsin en appliquant un sinus à toute l'équation.

arcsin(a/2R) = 2*(a/2R)^2 - (a/2R)*sqrt(1-(a/2R)^2)

en posant a/2R = X on a

sin(2*X² - X*sqrt(1-X²)) = X

Ce n'est pas une équation qu'on peut résoudre à la main. Donc j'ai fait appel à l'impitoyable Maple avec une fonction classique "fsolve" qui résout par calcul numérique.

La fonction f(X) = sin(2*X² - X*sqrt(1-X²)) - X coupe trois fois l'axe des abscisses dans l'intervalle [0,1]

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en 0, x1=0,85 , et x2=0,98

0 est à éliminer d'office. Un petit contre exemple montre que x2 est à éliminer aussi.

Donc on a
a/2R = x1
d'où
R = (1/(2*x1))*a = Y * a

avec maple on a (à cent chiffres après la virgule) :
Y=0,582822162445955460777602403330493952813488240200439582125940488
6330550591793085965733385592964085455

Encore compliquée, pas plus simple

Dis moi ce que tu ne comprends pas, et je vais essayer d'expliquer.

On peut calculer l'aire balayée par la chèvre d'une autre façon ...
Je la présenterai plutard.

Merci Sami pour l'enrichissement. On comparera les deux approches/solutions ultérieurement.
@+

Je travaille dans un repère orthonormé (O,i*,j*), de centre O milieu du
coté de longueur 'a' du prè. Etant attachée avec une corde de
longueur 'R' pouvant dépasser 'a/2', la chèvre peut se déplacer dans la
surface délimitée par :

1) la demi droite d'équation x=-a/2
2) la demi droite d'équation x=+a/2
3) la courbe d'équation y = (R^2 - x^2)^(1/2) avec x dans [-R,+R]. ça rappelle l'équation d'un cercle de rayon R : x² + y² = R².

comme l'indique la figure ci-dessous :

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ça revient donc à calculer l'aire de la surface "S" délimitée par une courbe continue représentant un demi-cercle de rayon R, et deux droites d'équations respectives x=-a/2 et x=a/2. Ce genre de situation on les a rencontrées pas mal de fois en terminale.

L'aire S(R,a) est calculée à partir de cette intégrale:

S(R,a) = int((R^2 - x^2)^(1/2),x,-a/2,a/2)

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Après changement de variable, cette expression devient :

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avec Maple, cette expression est équivalente à celle donnée par Sami. Il suffit de faire:

assume(a,real)
assume(R,real)
assume(0<a,a<R)

et recalculer l'intégrale, on "tombe" sur :

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à ce niveau, on a plusieurs choix :

1) soit on résoud numériquement S(R,a) = a²/2
2) soit on fait une petite transformation pour simplifier l'expres​sion(X = a/2R) ...
3) soit on continue à chercher une autre méthode lol

@+

oui....
Je me demande si Y (définit par R=Y*a), n'a pas une expression exacte et non pas une valeur approchée...

quelqu'un a affirmé qu'il s'agit d'une expression exact. Si je me rappelle bien, c'est 1/sqrt(3). Mais, je crois pas que c'est vrai.

bien sur que c'est faux.
( 1/sqrt(3) ) = 0,577...
Y = 0,5828...

Sami a écrit:bien sur que c'est faux.
( 1/sqrt(3) ) = 0,577...
Y = 0,5828...

Lui, il a construit une figure dans laquelle il a "montré" qu'il s'agit bien d'un triangle équilatéral etc...
il a aboutit au résultat 1/sqrt(3) si je me rappelle bien... je vais m'en renseigner plus...