Suite et .... fin ?

Enjoy it :

Soit la bijection B de E vers E, E ensemble des entiers de 1 à 100. B(k) est une valeur prise complètement au hasard.
Soit S, la suite telle que S0=B(1) et S(n)=B(B(n)), pour tout n>=1.
Quelle est la probabilité pour que la suite S comporte exactement toutes les valeurs de E ?

a+

comme ça en passant je dirais :

(99!)/(100!)

J'expliquerai plus tard.

Soit S, la suite telle que S0=B(1) et S(n+1)=B(B(n)).

S0 = B(1)
S1 = B(B(0)) ==> ??? c'est quoi B(0)?

Methodix, c'est plutot S(0)=B(1) et S(n)=B(B(n)) pour n>=1

Les seules bijections pour lesquelles la suite passe par tous les valeurs sont les cycles à 100 termes. Un n-cycle se note (a1 a2 a3 ... an). Ceci veut dire que a1 prend la place de a2, a2 prend la place de a3 ..... a(n-1) prend la place de an et an prend la place de a1.

La suite passera par les 100 valeurs si et seulement si elle ne comporte qu'un seul type de cycle : un 100-cycle. Si au contraire la bijection comporte des cycles à moins de 100 termes (disons un 3-cycle (1 4 5) ), la suite se bloquera dans ce cycle et ne passera pas aux autres valeurs.

Donc la probabilité recherché est égale au nombre de 100-cycles possibles divisé par le nombre de permutations possibles. D'office, le nombre de permutations possibles est 100! (pour permuter 1, on a le choix sur 100 valeurs, puis pour permuter 2, on a le choix sur 99 valeurs...)

Le nombre de 100-cycles possibles suit la même philosophie. Pour trouver le suivant de 1 (qui est B(1) ) on a le choix sur 99 valeurs (pas 100 valeurs car 1 est à éliminer ou on tombera sur un 1-cycle ). Pour trouver le suivant de B(1) on a le choix sur 98 valeurs (1 et B(1) à éliminer)............... le dernier terme du cycle pointera vers 1 pour boucler le 100-cycle. En fin de compte, on a 99! possibilités.

Ce qui donne une probabilité de 99!/100! = 1/100

Methodix, c'est plutot S(0)=B(1) et S(n)=B(B(n)) pour n>=1

Ce n'est pas indiqué dans l'énoncé original. Mais, on peut travailler comme ça.

En survolant un peu ta solution, je me suis fait les remarques suivantes:

1)
S(n)=B(B(n)) : que peut être la cause de son existence dans l'énoncé à ton avis? Ta solution ne l'a pas évoqué du tout !

2)
B est une bijection de E vers E.
Si on révise la définition de bijection: [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] on conclût que B est surjective et injective sur les 100 éléments de l'ensemble E et que B(E) = E. Donc, il n'y a que des 100-cycles (ta définition) qui ne sont que toutes les permutations possibles de E. Soit 100! applications bijectives possibles pour (B), et pour (B o B) aussi.

3)
S admet n+1 éléments, y compris B(1). B admet n éléments...

Avec ce raisonnement, la probabilité est égale à 1. lol