Limite d'une suite (1)

Bonjour à tous,

Suite à la proposition de nadou , j'ai trouvé qu'il est intéressant de vous proposer, de temps en temps, une limite à calculer, une fonction à étudier, un petit problème à résoudre,...

On commence par la question suivante:

B.Nabil a écrit:Soit Un la suite définie sur IN* par Un = (1+2/n)^n, c'est-à-dire, (1+2/n) puissance n. On veut calculer la limite de cette suite lorsque n->+oo.

J'attends toujours vos réponses.

B.Nabil

Salut,

J'ai pas bcp réfléchi à la solution mais je crois que la limite est 1 puisque:

Code:

2/n tend 0 quand n ----> +oo
donc 1+2/n tend vers 1,
donc Un tend vers 1.

@+
informiX

salut!!
pour la limte de (1+2/n)^n en +oo ,il suffit de caculer le log(1+2/n)^n et on obtient
nlog(1+2/n)= (log(1+2/n))/(1/n)=2(log(1+2/n))/(2/n)
on pose Q=2/n
quand n-->+oo, Q-->0 on obtient alors 2(log(1+Q))/Q avec Q tend vers 0 c'est egale à2; d'où la lim de (1+2/n)^n (lorsque n tend vers +oo) est
egale à e^2
a+

nadou a écrit:salut!!
pour la limte de (1+2/n)^n en +oo ,il suffit de caculer le log(1+2/n)^n et on obtient
nlog(1+2/n)= (log(1+2/n))/(1/n)=2(log(1+2/n))/(2/n)
on pose Q=2/n
quand n-->+oo, Q-->0 on obtient alors 2(log(1+Q))/Q avec Q tend vers 0 c'est egale à2; d'où la lim de (1+2/n)^n (lorsque n tend vers +oo) est
egale à e^2
a+

oui nadou, tout à fait. grosse bétiz que j'ai faite
Est-ce qu'on peut trouver une formule plus générale? {plutôt une suite plus générale qui tend vers...[B.Nabil]} cogitons un peu...

informiX

Salut,


La réponse correcte est celle de nadou [voir comment elle a procédé...] Une question importante a été posée par informiX. En voilà une reformulation:

informiX & B.Nabil a écrit:Puisque (1+2/n)^n ----> e^2
Essayons de calculer:
lim (1-1/n)^n ----> ?
lim (1+1/n)^n ----> ?
lim (1+2/n)^n ----> e^2
lim (1+3/n)^n ----> ?
...
Quel résultat important peut-on en déduire?

B.Nabil

salut!!!!
en calculant

lim (1-1/n)^n ---->
lim (1+1/n)^n ---->
lim (1+2/n)^n ----> e^2
lim (1+3/n)^n ---->
on remarque que generalement une limt de la forme (1+x/n)^n
avec n-->+oo
est egale à e^x!!!!
a+!!!!

nadou a écrit:salut!!!!
en calculant

lim (1-1/n)^n ---->
lim (1+1/n)^n ---->
lim (1+2/n)^n ----> e^2
lim (1+3/n)^n ---->
on remarque que generalement une limt de la forme (1+x/n)^n
avec n-->+oo
est egale à e^x!!!!
a+!!!!

Saluttttt,
J'ai vérifié les résultats posté par Nadou. J'ai trouvé qu'ils sont corrects. Félicitationnnn, et merci à B.NabiL. C'est passionnant!

On attends d'autres questionssss a+
methodiX