Dénombrement + nombre premier + carré parfait

Rappel du premier message :

wow, admirer cet exrecice :

On considère tous les nombres de 6 chiffres que l'on peut former en permutant les chiffres de 1 à 6.

1) Calculer la somme de ces nombres
2) Trouver le nombre de zéros qui terminent leur produit.
3) Montrer que l'un quelconque de ces nombres n'est ni premier ni carré parfait.

de plus comment expliques tu cela : une fois = 4*(4!) = 96
deux fois = 2*(3!) = 12
trois fois = 2*(2!) + (3!) = 10
quatre fois = 2! = 2

je veux dire les as-tu compté un par un ou alors quelle formule utilises-tu ?

La clé de la réponse dans ce problème est donnée par cette petite figure :



Elle devrait être déduite d'une "assez longue" recherche et observation. Bravo !!!

les 6iques divisibles une fois par 5 :
Ils se terminent surement par 5 mais pas par 25 (sinon ils seront divisibles 2 fois). Pour le dernier chiffre t'as pas le choix (5), pour l'avant dernier il ne faut pas choisir 2 et 5, donc il y a 4 possibilités (1,3,4,6), et pour le reste des chiffres t'as le choix de ce qui reste (d'où le 4! ).

Presque le même raisonnement pour les 6iques divisibles deux , trois ou quatre fois.

Sami a écrit:ben oui. On peut encore vérifier par l'informatique (un programme fait en un langage de programmation pourra confirmer ou infirmer le résultat).

Quel langage (connu) à ton avis te permet de faire des calculs avec des nombres LONGS ? dépassant les 2000 chiffres ??

Il y a des bibliothèques Java et C++ pour faire des calculs avec de grands nombres.
Je ne sais pas si Matlab peut faire l'affaire.

Nabil,
pour trouver cette figure, il faut écrire un nombre n en sa décomposition décimale (genre n = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... +a(1)*10 + a(0) ). n est divisible par 5 ssi a(0)=0 ou a(0)=5. Dans notre cas on prend a(0)=5 car on n'a pas le 0. Puis il faut diviser cette décomposition par 5 (ça donne n/5 = 2*a(n)*10^(n-1) + 2*a(n-1)*10^(n-2) + ... + 2*a(2)*10 + 2*a(1) + 1). Pour que n/5 reste divisible par 5 on voit que a(1) doit être ègale à 2 ou à 7. Le 7 ne nous interesse pas, on continue avec le 2, et on fait la même chose avec n/(5^2)....

En iterant ce procédé, on peut construire l'arborescence précédente.

nabiL a écrit:

Sami a écrit:ben oui. On peut encore vérifier par l'informatique (un programme fait en un langage de programmation pourra confirmer ou infirmer le résultat).

Quel langage (connu) à ton avis te permet de faire des calculs avec des nombres LONGS ? dépassant les 2000 chiffres ??

Il y a des bibliothèques Java et C++ pour faire des calculs avec de grands nombres.
Je ne sais pas si Matlab peut faire l'affaire.

Il y a maple .

d'ailleurs c'est ce que j'ai fait pour vérifier cette conjecture.

Il y a maple.

Quelle est la longueur max d'un entier en Maple?

nabiL a écrit:

Il y a maple.

Quelle est la longueur max d'un entier en Maple?

Beaucoup . Pas d'idée précise, mais je me rappelle avoir calculer 1000!, et Pi avec 10000 chiffres après la virgule en quelques secondes avec maple. Il donne les réponses exactes (pas d'estimation). C'est impressionnant.

Il y a combien de chiffre dans 1000! ??? lol

On va en faire un autre topic !

Bonjour,
Pour la troisième question :

La réponse complète réside dans cette phrase : " Tout nombre 6ique est divisible par 3 une et une seule fois".

Tout le monde sait qu'un nombre écrit en base décimale est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres est elle aussi divisible par 9. Mais c'est la même chose avec 3 . Tout nombre est divisible par 3 ssi la somme de ses chiffres est divisible par 3. En supposant cette proposition correcte, un nombre 6ique est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 21 qui est divisible par 3.

pour ce qui est de la proposition :

soit m appartenant à IN. Sa décomposition décimale est :

m = a(n)*10^n + a(n-1)*10^(n-1) + ... + a(1)*10 + a(0)
= a(n)*(10^n - 1) + a(n-1)*(10^(n-1) - 1) + ... + a(1)*(10 - 1) + ( a(n) + a(n-1) + ... + a(0) )

on a
quelque soit "i" dans [[1,n]] : 3 divise (10^i - 1) = 9999...99 (9 écrit i fois)
donc : [3 divise m] ssi [ 3 divise ( a(n) + a(n-1) + ... + a(0) ) ] qui est la somme des chiffres de m.

Donc tout 6ique est divisible par 3, donc tout 6ique est composé (non premier).

Pour la question du carré parfait, on a:

Si m est un 6ique alors :
m = a(5)*10^5 + a(4)*10^4 + ... + a(1)*10 + a(0) // les a(i) sont dans [[1,6]] et différents deux à deux
= a(5)*(10^5 - 1) + a(4)*(10^(4) - 1) + ... + a(1)*(10 - 1) + 21

donc
m/3 = a(5)*33333 + a(4)*3333 + ... + a(1)*3 + 7

On voit bien que m/3 n'est pas divisible par 3 car tout les opérandes de l'équation différente sont divisible par 3 sauf 7 qui ne l'est pas. On déduit que m n'est divisible qu'une seule fois par 3.

D'aprés le théorème qui dit : " si p est premier et a est carré parfait alors : p divisie a => p^2 divise a " , on déduit que m n'est pas un carré parfait. Donc tous les 6iques ne sont pas des carrés parfaits.

Cordialement,

Très correcte comme approche. La seule chose qui embette c'est de penser que c'est la seule approche qui mène vers la solution. Car si c'est le cas, ça ne devrait pas être un très bon sujet de discussion et pause/café mathématique.

Donc, récapitulons:
On vien de montrer que tous les nombres particuliers de l'exercice vérifient certaines propriétés:

1) ils sont tous divisibles par 3, puisque la somme de leurs chiffres est 27.
2) aucun n'est Carré parfait, puisqu'ils s'écrivent sous la forme 3xP où P est un nombre non divisible par 3.