Histoire de chat et de souris...

je vais me pencher dessus. C'est une belle énigme... ça me rappelle les sciences physiques du bac (pour le moment) ...

Bonh, j'ai essayé ... ça révise non seulement le programme du bac, mais aussi les premiers exercices de physiques de la 1ère année Prépa ! j'ai oublié les astuces de calcul sincèrement....

Je crois que le chat attrape la souris à l'instant t = R/V2 ...
Cela semble être correct et erroné aussi ...
Correct puisque si R est très grand, alors on voit que t devient grand. Et si V2 (vitesse du chat) est faible, alors, la durée t devient longue aussi.
Ca me semble erroné puisque dans l'expression de t est indépendante de la vitesse de la souris !!!
C'est-à-dire le chat met la même durée pour attraper la souris même si elle ne bouge pas sur le cercle, et même si elle se déplace à vitesse constante non nulle. ça peut être vraie mais pas trop acceptable aux cerveaux (au moins le mien )
Pour l'équation de la trajectoire, il suffit de calculer en coordonnées polaires puis cartésiennes le vecteur OC qui désigne la position du chat. Tu trouveras une expression de l'angle ALPHA ne dépendant que de V1, de R et de ALPHA-ZERO (l'angle initial que fait la souris avec l'horizontal). Après développement, tu trouveras l'équation d'une spirale d'Archimède!

Voir le lien suivant : La spirale d'Archimède

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Merci pour l'énigme !

nabiL, désolé mais c'est faux.

Ce n'est pas une spirale d'Archimède. J'ai déjà réfléchi à cela mais la trajectoire du chat ne ressemble en rien à une spirale car :
- Si le chat se déplaçait avec une vitesse constante sur une spirale, sont vecteur vitesse ne pourra jamais pointer un point S se déplaçant avec une vitesse constante sur un cercle : supposons que V2* (étoile pour vecteur) pointe un point A sur le cercle. Lorsque V2* repointe à nouveau A, disons que le chat a parcouru une distance L1 sur la spirale. Lorsque V2* repointe à nouveau A, le chat a parcouru une distance L2 depuis son dernier repointement (et non depuis le début. C'est à dire que le chat a parcouru depuis le début L1 + L2). Et bien on a L2 > L1 . Donc le chat met de plus en plus de temps pour repointer A. C'est contradictoire car la souris passe par A à interval régulier...
- Une spirale s'éloigne toujours du centre du cercle, alors qu'avec un peu d'imagination on s'aperçoit que si V1 >> V2 , le chat peut se rapprocher du centre (éventuellement lorsque la souris est de l'autre coté du cercle par rapport au chat).

Pour ce qui est de t=R/V2, tu l'as dit toi même ! J'ajoute que le chat (apparemment) n'attrape pas la souris lorsque V1>>V2, ce que ta équation ne vérifie pas. En fait on l'a vérifiée pour le cas V1 = 2*V2 avec une simulation OpenGL sur ordinateur : le chat n'attrape pas la souris

Enfin, il vaudrait mieux écrire sur les postes toutes les équations qu'on trouve pour avoir une chance de résoudre cette énigme, sinon chacun sera dans son propre monde et les choses n'avanceront pas.

amicalement,

Je te propose de revérifier tes calculs Sami

Du moment où tu écris: OC* = D.n* où n* est un vecteur unitaire normal au cercle et que D est la distance parcourue par le chat, tout devient clair.

Tu exprimes D en fonction de la vitesse Vc du chat.

et tu exprimes enfin le vecteur n* dans une base orthonormée (i*,j*) axes du cercle.

Tu aboutiras aux deux expressions des vecteurs OC* et OS* (Chat Souris).

C attrape S <=> OC* = OS*

Tu identifie membre à membre les deux expressions, tu trouveras la durée requise pour que C attrape S qui est R/Vc.

Cette durée constitue une condition à respecter : 0 < t <= R/Vc.

Je t'ai fait un bon fichier EXCEL plein de calculs et de simulations, tu y trouveras pour une instance du problème :

1) trajectoire de la souris
2) trajectoire du chat
3) temps estimé pour que C attrape S

Concernant la trajectoire, c'est une spirale d'archimede.

wikipedia - modifiée a écrit:
La spirale d'Archimède est la courbe décrite par un point (C) en
déplacement uniforme sur une droite (CS) en rotation elle-même uniforme
autour d'un point (O).

Ca correspond exactement à la définition de notre problème Souris/Chat !

Je crois que la simulation n'a pas marché comme il faut parce que tu as ignoré le fait que la souris tourne dans le sens trigonométrique. Donc, l'angle THETA est une fonction décroissante, et sa dérivée est négative. On rajoutera un signe (-) pour que les trajectoires soient correctes.

Cordialement !

J'espère que c'est plus clair maintenant. Sinon, donne-moi ton tel, on doit diner ensemble ce soir

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Mon cher Nabil, non non non non et non [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]

Tu n'as pas compris l'énoncé : " Le chat quitte le centre en se déplaçant vers la souris de telle façon que sa vitesse (en vecteur) soit toujours dirigée vers S. Et tout cela à une vitesse (en module) constante V2. "

Le vecteur vitesse de C pointe toujours vers S, c'est-à-dire à un instant figé t, si on trace la tangente à la courbe de la trajectoire de C, celle-ci passe par S. Dans ton modèle, deux cas se présentent :

- Ou bien, O, C et S sont alignés dans une demi-droite (comme la définition de wikipedia pour la spirale). Dans ce cas si on décompose le mouvement de C en un mouvement constant sur cette demi droite (de O vers S), et un mouvement de rotation constant ( celui de la demi-droite [OS) ) alors sa vitesse en tout n'est pas constante !!! Elle est croissante (du fait de son éloignement de O)...
- Ou bien, C se déplace avec une vitesse constante sur la spirale. Dans ce cas, les trois points O, C et S ne sont plus alignés (sinon il faut revenir au premier modèle où la vitesse de C est croissante). Et bien j'ai démontré dans mon dernier poste que ce modèle n'est pas celui de l'énoncé (il faut que tu lis tout ce que je te dis [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] ). Je te le donne encore une fois :

"Si le chat se déplaçait avec une vitesse constante sur une spirale,
sont vecteur vitesse ne pourra jamais pointer un point S se déplaçant
avec une vitesse constante sur un cercle : supposons que V2* (étoile
pour vecteur) pointe un point A sur le cercle. Lorsque V2* repointe à
nouveau A, disons que le chat a parcouru une distance L1 sur la
spirale. Lorsque V2* repointe à nouveau A, le chat a parcouru une
distance L2 depuis son dernier repointement (et non depuis le début.
C'est à dire que le chat a parcouru depuis le début L1 + L2). Et bien
on a L2 > L1 [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]
. Donc le chat met de plus en plus de temps pour repointer A. C'est
contradictoire car la souris passe par A à interval régulier..."


"Du moment où tu écris: OC* = D.n* où n* est un vecteur unitaire normal
au cercle et que D est la distance parcourue par le chat, tout devient
clair."

D n'est pas la distance parcourue par le chat mais seulement la distance qui le sépare du centre du cercle (c'est pas la même chose).

"Tu exprimes D en fonction de la vitesse Vc du chat.

et tu exprimes enfin le vecteur n* dans une base orthonormée (i*,j*) axes du cercle.

Tu aboutiras aux deux expressions des vecteurs OC* et OS* (Chat Souris)."

Comme je t'ai dit, donne moi tout le raisonnement, pas quelques étincelles ici et là [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] . J'ai fait tout ça avant, et j'ai abouti à une équation différentielle. Cette équation est pratiquement impossible à résoudre !

Ca correspond exactement à la définition de notre problème Souris/Chat !

PAS DU TOUT !!! Avec cette définition le vecteur vitesse de C ne pointe pas vers S mais vers une position "future" de S (j'espère que tu m'as compris...).

Je crois que la simulation n'a pas marché comme il faut parce que tu as
ignoré le fait que la souris tourne dans le sens trigonométrique.

Que la souris tourne dans le sens trigonométrique, ou celui des aiguilles d'une montre, ça ne change rien du tout. Le problème est symétrique (imagine que la scène se produit sur une feuille A4, si tu retournes la feuille la souris changera de sens de rotation mais la solution du problème ne changera pas ! Je te le promets [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] ).

Pour ce qui est de ta simulation, il est évident que tu as calculé le temps qu'il faut pour que le chat touche le cercle, et non pour que le chat attrape la souris [Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image] . D'après mon dernier raisonnement, le chat touche le cercle alors que la souris est ailleurs (lol).

Enfin je serais ravi de faire ta connaissance devant une table. En fait, tu es prof de math ou quoi ?

Cordialement,

Voici l'animation (elle comporte un exécutable et une librairie DLL de openGL).
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J'ai considéré le cas où le vecteur position du Chat est toujours dirigé vers la Souris et non pas le vecteur vitesse . Au moins mnt, on a une idée sur ce qui se passerait dans ce cas.

Je vais relire l'énoncé ... peefff, ça fait très longtemps que j'ai pas lu un exercice de physique. Mais t'as pas besoin de prendre ça en considération, puisque on va trouver une issue prochainement ...

En fait, tu es prof de math ou quoi ?

loin d'être prof de maths ...

Que la souris tourne dans le sens trigonométrique,
ou celui des aiguilles d'une montre, ça ne change rien du tout. Le problème est symétrique (imagine que la scène se produit sur une feuille A4, si tu retournes la feuille la souris changera de sens de rotation mais la solution du problème ne changera pas ! Je te le promets

Je sais que c'est symètrique est-ce que tu crois vraiment que c'est ça ce que j'ai voulu dire? tu fais de la simulation, et tu es très conscient à quel point une petite erreur dans le paramètrage de la simulation donne des résultats soulageants mais faux

Bref, je vais m'y pencher de nouveau ... je devrai d'abord retrouver mes cours de physique...

De ma part, je me demande comment a été faite la simulation OpenGL ???
Si les coordonnées du chat ont été calculées, alors le problème aurait été résolu ...

Autre question, avant de passer au calcul de la longueur de la trajectoire parcourue par le chat, savez-vous d'abord, calculer la longueur d'une corde qui trace une sinusoïde variant dans l'intervalle [0, 2Pi] par exemple?


Le calcul des longueur des trajectoires est une autre problématique ... avec un aspect mathématique plutôt que physique, à mon avis...

Je t'invite Sami à jeter un coup d'œil sur le site suivant :
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Les intégrales elliptiques (que j'ai oubliées déjà ) servent à calculer la longueur d'une courbe donnée.

salut methodix,

Je me rappelle vaguement de la méthode. Elle est utile en effet pour calculer les longueurs des courbes dont on connait l'équation. Mais dans ce problème on n'a aucune idée sur la courbe (trajectoire) du chat, et encore moins son équation. Comment dans ce cas calculer la distance L parcourue par le chat? Je pense qu'il faut résoudre une équation différentielle d'abord (pour trouver l'équation de la trajectoire), ensuite appliquer les intégrales elliptiques (ou autres choses). Merci quand même pour le lien, c'est utile dans ce fil.
Quant à la simulation OpenGL, c'est pas moi qui l'a faite mais un autre forumeur. Je pense qu'on peut donner des contraintes aux déplacements des points dans cette animation (par exemple, Vc* pointe toujours vers S), et non pas calculer toutes les coordonnés du chat. Voici un lien vers quelques documentations sur la bibiliothèque utilisée : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]

La trajectoire donnée par la simulation est une "approximation" de la trajectoire réelle.
Le mec aurait certainement discrétisé le déplacement du Chat en discrétisant le temps. Ce type d'échantillonage est souvent utilisé lorsqu'il est difficile (ou impossible) de travail dans un domaine continu.

En est exemple les algorithmes évolutionnaires (génétiques par exemple) qui optimisent n'importe quelle fonction numérique (continue ou discrète) sans avoir recours au calcul du gradient (dérivée) ni rien !!! et ce en échantillonant l'espace des solutions par des mutations et des croisements (au sens génétique).

Bref, c'est vrai ... on aboutit à une équation différentielle non linéaire liant la vitesse Vc du chat et son vecteur déplacement OC* ... Heuresement, les coordonnées de la souris sont calculables instantanément.

Ce genre de problèmes me rappelle un projet de fin d'études d'ingénieur (informatique, ou mécanique: je ne me rappelle plus) ... le travail demandé était de donner une simulation très précise d'un missile qui suit un objectif mobile !!!

La trajectoire de l'objectif mobile peut être quelquonque, chaotique même ... (une marche aléatoire ...) et le vecteur vitesse du missile est souvent supposé dirigé vers l'objectif.

Le travail d'ingénierie à ce niveau est de déterminer la stratégie la plus optimale, qui permet au missile d'atteindre sa proie. Ca peut être fait par des simulations numériques moyennant des calculs approximatifs de la trajectoire de la proie (calcul différentiel, dynamique ... ) et là, toutes les notions de physiques entre dans le jeu : le poids, la vitesse initiale, les frottements, l'accélération, le changement brusque et volontaire ou involontaire de direction et son impact sur la trajectoire...

Et vue la complexité de ce type de problème, on commence toujours par étudier des stratégies simples telles que :
- Vecteur position du missile dirigée vers l'objectif
- Vecteur Vitesse du missile dirigée vers l'objectif
- Vecteur Accélération du missile dirigée vers l'objectif

Il y aussi une autre problématique annexe (dans le même contexte) : c'est de trouver la meilleure trajectoire que doit parcourir le missile pour atteindre le plus tôt possible son objectif
C'est abordable si les lois de mouvements (missile + objectifs) sont simples ou au moins prévisibles...

A plutard !

Concernant l'équation différentielle à laquelle on aboutit, elle a une forme un peu particulière. Elle peut être considérée comme un système d'équations différentielles à deux inconnues, où la 1ère inconnue est x(t) et la deuxième est y(t).

x(t) et y(t) sont les coordonnées du chat dans un repère orthonormé (o,i,j), o = centre du cercle.

Est-ce que quelqu'un aurait-il essayé de résoudre le système équations différentielles avec une méthode numérique? Runge Kutta ? Euler?

le problème est génial mais je me rappelle pas beaucoup de choses en sciences physiques.