Fonctions fuchsiennes ou schwarziennes ? Mieux poincaréennes !

Cet article (en deux parties) raconte comment Poincaré introduisit les fonctions qu’il baptisa fuchsiennes pour
résoudre certaines équations différentielles. Il s’inspira pour cela des travaux de Fuchs associés à la géométrie non euclidienne.

n connaît les équations : ces égalités qui lient des nombres et des inconnues de manière telle que l’on puisse déterminer les inconnues - dans les meilleurs des cas. Il est d’autres types d’équations - les équations différentielles - dont les inconnues ne sont plus des nombres, mais des fonctions. Et ces équations « déterminent » - toujours dans le meilleur des cas - les fonctions par l’égalité qu’elles énoncent entre des fonctions connues,
la fonction cherchée, la dérivée de cette fonction, etc.

Newton fut le premier à résoudre ce type d’équation lorsqu’il établit la trajectoire d’un corps (on dit aussi l’intégrale, c’est ici notre « fonction ») sur la base d’une relation que vérifiaient l’accélération
du mouvement et des fonctions connues. Plus exactement, ces équations spécifiaient, pour un mouvement donné, l’ensemble des trajectoires possibles, sachant qu’il suffit de préciser la position et la vitesse du
corps à un moment quelconque pour que la trajectoire soit alors déterminée de façon unique.

Le domaine des équations différentielles se développa par la suite de façon importante. L’article qui suit porte sur un moment clé de cette histoire. On y conte comment le jeune Poincaré a eu l’extraordinaire intuition d’utiliser la géométrie non euclidienne, et plus précisément la géométrie hyperbolique (voir ici), pour résoudre un type d’équations différentielles déjà bien connu. Il introduisait ainsi les solutions de ce type d’équations - qu’il a appelées « fonctions fuchsiennes » - et il eut ensuite l’idée de les utiliser pour aborder des problèmes
mathématiques tout autre, en géométrie algébrique et en théorie des nombres.

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