Corrigé et discussion : épreuve de mathématiques - bac 2009 (section maths)

Réponse = 1-b)
L'image par la rotation de centre O et d'angle -Pi/2 du point A qui fait un angle Pi/3 et un point qui fait un angle Pi/3 - Pi/2 = -Pi/6. Donc, son abscisse est positive: cosinus d'un angle entre [-Pi/2, Pi/2] . Le seul point d'abscisse positive est 1-b).

Réponse = 2-c)
Arg(z) = -Pi/6 Pi/2 = Pi/3

Réponse = 3-c)
même en prenons un exemple simple n=0 et n=1, on peut trouver la réponse.

Réponse = 4-b)
Exercice de probabilité très basique.

1.a)
Il suffit de faire un changement de variable pendant le calcul de la limite: t = racine(x). Ceci rappelle une limite usuelle en 0: limite de Ln(1-t)/t, et ne pas oublier que -1 "divisé" par 0+ est l'infini négatif.

1.b)
Pour déterminer la pente de la demi-tangente en O, il suffit de calculer :

Code:

la limite en 0 de  [f(x)-f(0)] / [x - 0] = f(x) / x

.
Limite déjà calculée dans 1.a). Il s'agit d'une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.
Attention:
prendre une bonne échelle dans la construction la courbe de f. Le repère n'est pas forcément orthonormé !!!

2.a)
Question classique.

2.b)
Il ne faut pas oublier de déduire les asymptotes et la demi-tangente en O qui devient horizontale.
Ne pas oublier aussi que f et sa réciproque ont la même monotonie (ici: décroissantes)

3.a)
Pas de difficulté particulière.

3.b)
Il suffit de développer l'expression de la réciproque de f : exp(2x) + 1 - 2.exp(x); puis de prendre l'intégrale de cette expression entre -Ln2 et 0. On trouve: A = Ln(2) - 5/8 (on peut vérifier que A>0).

3.c)
Enfin, une question qui nous oblige de rouler moins vite
D'abord, il faut remarquer que l'intégrale demandée est négative puisque f est négative et les bornes de l'intégrale sont croissantes (de 0 à 1/4).
Si je ne me suis pas trompé de calcul, on trouve : -1/4.Ln(2) + A = 3/4.Ln(2) - 5/8 (qui est négative)