Analyse:théorème des fonctions implicites

slm,
ma question porte sur la l'hypothèse df/dy(a,b) !=0 dans le théorème des fonctions implicites.
Pourquoi faut-il avoir une fonction régulière au voisinage de (a,b)?
et si quelqu'un peut donner une idée sur la démonstration ?
Merci d'avance

Dans le plan:
Soit φ la fonction qui approxime f(x,y) au voisinage de (x0,y0).
La dérivée de φ au point x₀ est donnée par la formule :



Ce qui nécessite que df/dy(x0,y0) soit non nul.

Dans un espace complet (de Banach):
l'énoncé n'indique pas que la différentielle partielle doit être non nulle.
Soient E, F et G trois Banach, U un ouvert de E, V un ouvert de F, f une application de classe C^p de UxV dans G et (x₀, y₀) un point de UxV tel que la différentielle partielle D₂f(x₀, y₀) soit une bijection bicontinue de F dans G. Il existe un ouvert U₀ de U contenant x₀ et une application φ, de classe C^p, définie sur U₀ telle que ...

merci,
dc c'est juste pour garantir que le φsoit de classe C^p
.?
excusez moi,mais je vois pas d'où sort cette formule de dérivé?en fait on ne l'a pas dans le cours et j'ai pas quelque chose d'explicite pour le developper.