Maximiser l'aire d'un triangle

Salut :

Une question m'est venue à l'esprit ... C'est dans le contexte de l'optimisation.

On prend un fil de longueur P. On se propose construire un triangle avec ce fil de façon que son périmètre soit égal à P. Quelle doit être la longueur de chaque coté du triangle pour que son aire soit maximale.


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Chehya tayba

@++

La surface du triangle est maximale lorsque a=b=c=P/3, donc lorsque le triangle est équilatéral. ça découle de la formule : Surface du triangle = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
où s = demi périmètre = P/2

Avec Maple, en prenant P=2, j'ai tracé la fonction à deux variables f(x,y)=sqrt((1-x)*(1-y)*(x+y-1)).

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On voit que la fonction a un extremum global à z=sqrt(1/27) ; qui correspond au cas où a=b=c(=2-a-b)=2/3.

Donc, en prenant un fil de longueur P, la plus grande surface qu'on pourra avoir avec un triangle est (sqrt(3)/6)*P^2

Donc, en prenant un fil de longueur P, la plus grande surface qu'on pourra avoir avec un
triangle est (sqrt(3)/6)*P^2

Il faut le démontrer et ne pas se baser sur un exemple illustratif.

Sami a écrit:Surface du triangle = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) où s = demi périmètre = P/2

Soit "p" : périmètre du triangle.
On peut par exemple donner la formalisation suivante du problème :

Un problème de maximisation avec contraintes :

Code:

maximiser Fp(a,b,c) = (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
sous-contrainte que: a+b+c=p

Les trois variables a, b et c sont interliées par le paramètre "p". On peut réduire le nombre de variable de Fp puisque c = p-a-b.

Code:

D'où, le problème devient: étant donné p>0,
maximiser : Fp(a,b) = (a - p/2).(b - p/2).(a+b-p/2)

Fp est continue, et différentiable comme fonction polynomiale à deux variables.

Le gradient de Fp est :
1) dFp/da = ?
2) dFp/db = ?


à suivre ...

il ne faut pas oublier que : a+b<p.
C'est une contrainte fondamentale, sinon, il suffit de tendre (a,b) vers +infini et on aura maximisé Fn(a,b)