Trigonométrie + Nombres entiers

Essayer de calculer l'image de quelques nombres entiers (unité = radian) par certaines fonctions trigonométriques, telles que :

f(n) = a.sin(n), a un entier > 1

f(n) = a.cos(n), a un entier > 1

f(n) = tan(n)

f(n) = cotan(n)

...

la plupart des f(n) ne sont pas des entiers.

On se propose de vérifier s'il existe un entier "n" dont l'image par l'une des fonctions citées ci-dessus est un entier.

Bonne réflexion

a+

On peut voir du côté du développement en série de fourrier...
par exemple :
a*sin(k) = a*sum( ((-1)^n)*(k^(2n+1))/((2n+1)!) , n=0..infini);

ça permet peut-être de montrer que sin(k) est irrationnel si k est un entier (sauf pour k=0 bien sûr).

On peut voir du côté du développement en série de fourrier

Je ne crois pas que ça va mener à quelques choses : les séries de Fourier, parce qu'une somme infinie de termes rationnels, n'est pas toujours un rationnel.

Il y a toujours des problèmes lorsqu'on veut montrer qu'un nombre est irrationnel, ou rationnel ...

On peut s'inspirer de "e est irrationnel" à mon avis.

methodiX a écrit:

On peut voir du côté du développement en série de fourrier

Je ne crois pas que ça va mener à quelques choses : les séries de Fourier, parce qu'une somme infinie de termes rationnels, n'est pas toujours un rationnel.

Il y a toujours des problèmes lorsqu'on veut montrer qu'un nombre est irrationnel, ou rationnel ...

On peut s'inspirer de "e est irrationnel" à mon avis.

En fait, mon idée était de montrer que la partie décimale de a*sin(k) (pour k non nul) n'est pas périodique. Deux termes consécutifs de la suite de Fourier ont probablement des parties décimaux non identiques (ça reste à démontrer). Lorsqu'on ajoute à chaque fois un terme à la somme, la partie décimale sera toujours apériodique. Ce que on pourra généraliser à l'infini. Et puisque la partie décimale d'un rationnel est toujours périodique (j'ai la démonstration de cette proposition), on pourra conclure que le a*sin(k) est irrationnel.
Tout ceci n'est bien sûr qu'une idée et non une démonstration. Mais comme l'a bien dit Nabil, tout commence avec quelques essais.

Tu as raison.
Proposer une idée vaut beaucoup mieux que rester silencieux. Mais, personnellement, je ne vois pas comment s'en sortir avec les séries de Fourrier. Surtout, n'oublie jamais qu'une suite de termes rationnels peut converger vers un irrationnel. Comment démontrer qu'une suite va converger vers un rationnel ou irrationnel sans calculer la limite... euuh, aucune idée.