Big Number

trop belle comme énigme ...

Sami: je suis très très curieux de connaître la source de cette énigme?
Olympiade? Site web? Test de QI? ... ta propre imagination?

Je l'ai lu il y a quelques années dans un magazine "la recherche"

Sami a écrit:On écrit les nombres de 1 à 70 à la suite : 123456789101112........6970. Quel est le plus petit nombre
qu'on peut avoir en retirant exactement 100 chiffres de ce nombre sachant qu'il ne doit pas commencer par un zéro ?

trop belle, c'est vrai.

Proposition non prouvée

je crois que le nombre cherché est :

101112131415....(100 chiffres)

désolé, non . Vous voulez un indice ou non ?

no no pas d'indice ... c'est une proposition à la volée, pour bouger un peu ce sujet ...

les cents chiffres qu'on tire de ce nombre doivent-ils être consécutifs?

nabiL a écrit:les cents chiffres qu'on tire de ce nombre doivent-ils être consécutifs?

bien sur que non. j'ai pas dit ça.

par exemple: le nombre

100000011111112222222...... peut-il être candidat?

si les chiffres ne sont pas consécutifs, ça devient très facile ... il suffit de compter combien on a de 1, de 2, de 3 etc... de 0, et conclure.

tu as compris qu'est-ce que je veux dire avec "consécutifs?"

apparemment tu n'as pas compris l'énoncé. Le nombre recherché n'est pas celui qui est construit par les 100 chiffres qu'on a retirés, mais par ceux qui restent. C'est à dire ceux qui reste du nombre 1234...6970. Les cents chiffres retirés sont à jeter. On ne compte que ce qui reste (bien sur en enlevant les espaces des chiffres qu'on a enlevé ). Compris ?

si tu réfléchis, c'est "un peu" kif kif lol

ben non. Le nombre 1234...6970 est construit par 131 chiffres. Si on enlève 100 chiffres, il reste 31. Donc le nombre recherché est constitué de 31 chiffres et non pas de 100 chiffres. N'est-ce pas ?

tawa fine fhemt el question tu aurais du le dire, même le mentionner dans un petit exemple ... ou dire "les 31 chiffres restants ..."

ce qui est sûr que le nombre final commence par 1 et se termine par zéro

est-ce que tu veux la solution avec une preuve rigoureuse? ou bien, l'explication du principe suffit?

ben l'explication du principe est en soit une preuve

Sami a écrit:ben l'explication du principe est en soit une preuve

une preuve mathématique rigoureuse ne se limite pas à la présentation du principe général du raisonnement menant vers la solution.

mais ça suffit à construire la preuve

Souvent, aller jusqu'au bout et essayer de tout prouver peut causer une grande difficulté. C'est ce qui fait qu'entrer dans le bain et construire avec soin une démo n'est pas évident.

ça m'étonne un peu qu'il y ait une formule mathématique qui donne le plus petit nombre demandé ... mais plutôt, une procédure à suivre qui permet de le construire, étape par étape.

ca a l'air complique a premiere vue, mais en fait c'est plutot tres simple:

on enleve 100 chiffres d'un nombre a 131 chiffres.

Le nombre que l'on trouve est alors forcement un nombre a 31 chiffres.

le nombre le plus petit possible a 31 chiffres est
1 avec trente '0'

Le nombre
1,1*10^31>1,0*10^31+a*10^30

c'est a dire que comme on sait que le nombre obtenu fait forcement 31 chiffres, le nombre le plus petit doit commencer par 10, peu importe le nombre de chiffres qu'il faut enlever.

On continue ainsi le raisonnement, et il faudrait alors mettre le plus de zeros possibles au debut:
On a la suite des nombres de 1 a 70

On a dedans 10,20,30,40,50,60,70
seulement 7 zeros.

il faut alors s'arreter au zero de 60, et on a alors encore 61626364656667686970
ce qui ne fait pas suffisament de chifrres( que 20)
on s'arrete alors a 50
on prend les cinq '0' de 10,20,30,40 et 50,
puis il reste encore 40 chiffres qui sont suffisants
or il nous en faut que 32.
On sait qu'on ne peut plus prendre de 0.
5152535455565758596061626364656667686970
on prend d'abord le 1 de '51'.
on ne peut se permettre de prendre le 1 de 61
on prend le 2 de 52
on a deja 7 chiffres
on prend le 3 de 53
on a deja 8 chiffres
il nous reste encore 34 chiffres
on prend le 4 de 54
on a deja 9 chiffres
il nous reste encore 32 chiffres
on prend les deux 5 de '55'
on a deja 11 chiffres

il nous reste encore 30 chiffres
on prend le 5 de 56
on a deja 12 chiffres


il nous reste encore 28 chiffres
on prend le 5 de 57
on a deja 13 chiffres



il nous reste encore 26 chiffres
on prend le 5 de 58
on a deja 14 chiffres



il nous reste encore 24 chiffres
on ne peut plus que ne pas prendre un seul chiffre.
on decide de ne pas prendre le 9 de 59 et le 6 de 60

On a alors comme nombre:

Le nombre cherche est:

1 00000 12345 55 55 5061626364656667686970

Jolie raisonnement edi9999, mais il n'est pas poussé à fond. Voila pourquoi le résultat est faux

En relisant ton raisonnement :

puis il reste encore 40 chiffres qui sont suffisants
or il nous en faut que 32.

Il y a quelque chose qui cloche avec le 32

Mais je vous envie pour la discussion ... parce que j'ai pas suffisamment de temps pour lire et comprendre ...

Je vais m'en occuper ce soir inchallah.