Mathématique ésthétique :)

Qu'en pensez-vous ?

0 x 9 + 1 = 1
1 x 9 + 2 = 1 1
1 2 x 9 + 3 = 1 1 1
1 2 3 x 9 + 4 = 1 1 1 1
1 2 3 4 x 9 + 5 = 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 x 9 + 6 = 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 x 9 + 7 = 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 x 9 + 8 = 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 x 9 + 9 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Super énigme !

Soit u_n, v_n, et w_n des suites définies sur N* tels que :
u₁ = 0
u_n+1 = 10u_n + n
v_n = 9u_n + n
w₁ = 1
w_n+1 = 10w_n + 1

Montrez que v_n = w_n.

Moi-même, je l'ai démontré.
Je posterai ma réponse plus tard.

methodiX a écrit:Qu'en pensez-vous ?

0 x 9 + 1 = 1
1 x 9 + 2 = 1 1
1 2 x 9 + 3 = 1 1 1
1 2 3 x 9 + 4 = 1 1 1 1
1 2 3 4 x 9 + 5 = 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 x 9 + 6 = 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 x 9 + 7 = 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 x 9 + 8 = 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 x 9 + 9 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vraiment c'est de l'esthétique.

raisonnement par récurrence

pour n = 1, V(1) = W(1) = 1

supposons que V(n) = W(n), montrons que V(n+1) = W(n+1)

W(n+1) - V(n+1)

=10 W(n) + 1 -(9 U(n+1) + n + 1)

=10 V(n) - 9 U(n+1) - n (car V(n) = W(n) )

= 10 (9 U(n) + n) - 9 (10 U(n) + n) - n

=0

ainsi pour tout entier naturel n strictement positif, V(n) = W(n)

Bien trouver !!

Bien joué mosa!
Comme j'avais dit que je posterai ma réponse plus tard, la voici :

Rappel :
Soit u_n, v_n, et w_n des suites définies sur N* tels que :
u₁ = 0
u_n+1 = 10u_n + n
v_n = 9u_n + n
w₁ = 1
w_n+1 = 10w_n + 1

Montrons par récurrence que v_n = w_n.

P_n : v_n = w_n pour tout n appartenant à N*

Initialisation :
v₁ = 9u₁ + 1 = 9 * 0 + 1 = 1
w₁ = 1
donc P₁ est vraie

Hérédité :
Supposons que P_n (v_n = w_n) est vraie pour n fixé > 0,
Montrons alors que P_n+1 (v_n+1 = w_n+1) est vraie aussi.
v_n+1 = 9u_n+1 + n + 1
v_n+1 = 9(10u_n + n) + n + 1
Comme v_n = 9u_n + n, alors u_n = (v_n - n)/9
donc v_n+1 = 9(10(v_n - n)/9 + n) + n + 1
v_n+1 = 10(v_n - n) + 9n + n + 1
v_n+1 = 10v_n - 10n +10n + 1
v_n+1 = 10v_n + 1
v_n+1 = 10w_n + 1
v_n+1 = w_n+1
donc P_n+1 est vraie

Conclusion:
Pour tout n appartenant à N*, v_n = w_n

Belle exercice !