Une fonction compliquée (1)

salut à tous les matheux,

Que pensez-vous de la fonction:

f: x|---->x^(1/x) (x puissance 1/x)

Donner moi n'importe quelle indication pour commencer ma série d'exercices

Merci,
informiX.

informix a écrit:salut à tous les matheux,

Que pensez-vous de la fonction:

f: x|---->x^(1/x) (x puissance 1/x)

Donner moi n'importe quelle indication pour commencer ma série d'exercices

Merci,
informiX.

Salut,
la fonction f: x|---->x^(1/x) est une bonne fonction dans la mesure où son étude forcer la révision de plusieurs techniques de calcul de limite, continuité et dérivabilité etc...

Il est conseillé de:
1. Etudier son domaine de définition. Il faut remarquer et justifier pourquoi x doit être strictement positif.
2. Mettre f(x) sous la forme EXP(LOG(f(x))) et voir ce qui en résulte.

Avancer dans l'étude de la fonction. N'hésitez pas à demander encore de l'aide.

B.Nabil

f(x) = exp((1/x)*Log(x))

son domaine de définition est IR+\{0}

f est continue et dérivable sur IR+\{0}

en effet, f = h(g(x)) avec h(x)=exp(x) et g(x)=(1/x)*Log(x)

g est continue et dérivable sur IR+\{0}

h est continue et dérivable sur IR+\{0}

les limites aux bornes du domaine de définition:

lim f en 0+ = 0 car lim(Logx) en 0+ =+l'infini
et lim(1/x) en 0+ = -l'infini
==> lim exp(x) en (-l'infini) = 0

lim f en +l'infini = 1 car lim ((1/x)*Log(x)) = 0

quelque soit x dans IR+\{0},

f '(x) = (1/x^2)*exp((1/x)*Log(x))*(1-log(x))

(1/x^2)*exp((1/x)*Log(x)) > 0

donc

si 0 < x < e , f '(x) > 0 ==> f est croissante

si x = e , f '(x) = 0

si e < x < +oo , f '(x) < 0 ==> f est décroissante

Remarque: e=2.71828=exp(1)

on constate que f ' s'annule en e en changeant de signe (positive puis négative), donc f admet un maximum absolu de coordonnées (e,f(e))

on disait que la limite de f quand x tend vers +oo est égale à 1
d'où la droite D:y=1 est une asymptote pour la courbe de f