Exercices: Approximations numériques de e, Pi, Sqrt(2)

Préambule

Nous allons voir comment utiliser l'unité uentier, dont la construction a été commencée dans la première partie, pour calculer un grand nombre de décimales des constantes mathématiques e, pi et racine de 2.

Calcul de e

Pour calculer le nombre e on utilisera la suite en définie par :




On montre que e-en < 10^(-251) pour n=144. On calculera donc e(144) pour obtenir 250 décimales.

Pour calculer en on utilisera l'égalité suivante :


Ceci nous donne l'algorithme :

pour n allant de 144 à 1 faire
( diviser par n et ajouter 1 )

Ecrire le programme calculant 10250e qui fournira 250 décimales de e.

Résultat obtenu :

Calcul des 250 premières décimales du nombre e.
...
27182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475
94571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738
13232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924
47614606680

Calcul de pi

Pour calculer le nombre Pi nous utiliserons la formule de Machin :


Le calcul de Arctan(x) se fera à l'aide de son développement en série entière :


qui devient :


On obtient ArcTan(1/d) avec une précision de p décimales en calculant un nombre de termes supérieur ou égal à (p.ln(10))/(2.ln(d)).

On se propose de calculer les 200 premières décimales de PI.

1. Ecrire une procédure ArctanInv(d:Integer; var e:Entier) qui calcule 10200.Arctan(1/d).
2. Ecrire un programme qui calcule les 200 premières décimales de PI.

Résultat obtenu :

Calcul des 200 premières décimales de PI.
31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089
98628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450
28410270193852110555964462294895493038184

Calcul de racine de 2

1. Ecrire une procédure qui calcule la partie entière de la racine carrée d'un entier (on pourra procéder par dichotomie, attention aux dépassements de capacités).
2. Pour calculer n décimales de la racine carrée de 2, on calculera la partie entière de la racine carrée de 2.102n.
Calculer les 100 premières décimales de la racine carrée de 2.

Résultat obtenu :

Nombre de décimales : 100
14142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070
388503875343276415727

La solution:

http://tdprog.free.fr/pascal/td-pascal/entiers/part2/entiers_longs_2.zip