[RESOLU] Qui a plus de chance de gagner ? (probabilité)

Un ordinateur est programmé pour émettre aléatoirement une série de "." et de "-". Avant de lancer le programme Anselme déclare à son ami Yourio : si l'on rencontre la suite ".--" anvant la suite"--.", j'ai gagné. Sinon c'est toi qui remporte le pari.

A votre avis qui a le plus de chances de gagner ?
++

C'est un très joli problème. Mais je ne vois pas ce que les statistiques viennent faire ici

Spoiler:

nawel a écrit:Un ordinateur est programmé pour émettre aléatoirement une série de "." et de "-". Avant de lancer le programme Anselme déclare à son ami Yourio : si l'on rencontre la suite ".--" anvant la suite"--.", j'ai gagné. Sinon c'est toi qui remporte le pari.

A votre avis qui a le plus de chances de gagner ?
++

Il y a une petite ambiguité dans l'énoncé ... mais je crois qu'elle ne fait qu'enrichir la réflexion.

Analyser cette phrase :

si l'on rencontre la suite ".--" anvant la suite"--.", j'ai gagné.

est-ce que le fait de trouver la séquence "--." suffit pour dire que Yourio a gagné ou bien il faut continuer la recherche de la séquence ".--" ? ça peut changer le raisonnement surtout que l'hypothèse du "nombre de génération de symboles est infini" est très faible. Un ordinateur ne peut pas générer une infinité de quoi que ce soit. Il faut supposer que le nombre de tirage est fini, mais assez grand.

Aussi, ne pas oublier qu'en parlant de probabilité, on peut estimer la chance de gain de chaque joueur sans commencer le jeu.

C'est un très joli problème. Mais je ne vois pas ce que les statistiques viennent faire ici

J'ai l'impression que ton raisonnement contient un bug quelque part ... je travaille actuellement sur une tentative de résolution. On en parlera ultérieurement.

Ne t'éloigne pas.

Bonh, mes calculs et ma réflexion ont abouti au fait que les deux joueurs ont la même chance de gagner.

J'ai modéliser le gain de chacun par une variable aléatoire. Et j'ai avancé dans la recherche pour se trouver à la fin devant une situation symétrique. A priori, ils ont la même chance.

Et je trouve que ce n'est pas évident du tout... même si une petite recherche sur google.com vous apporte une dizaine de solutions (en est exemple celle de Sami).

... il faut plus de temps de ma part avant de poster la démo.

a+

euuh, nabiL.

Je ne voix pas comment il y a équiprobabilité.

D'abord, mettons nous d'accord :

Dans le cas où l'ordinateur donne des symboles à l'infini :

La proposition :
A = "les deux premiers symboles affiché par l'ordinateur sont -- "
et la proposition
B = "les symboles --. apparaissent avant .--"

sont-t-elles équivalentes pour toi ???

Si "équivalente" veut dire "même probabilité" alors je te dis :

Code:

P(A) = 1/2 * 1/2 vu que le choix entre "-" et "." est équiprobable.

P(B) = c'est plus compliqué à évaluer.

N'oublie pas qu'il n'y a aucune préférence entre "-" et "."

C'est important. Tous deux ont même probabilité d'être sélectionné et affiché.

Donc la 1ère apparition de toutes ces chaines ont même probabilité :

Code:

---
--.
-.-
.--
..-
.-.
-..
...

C'est ce que je pense.

Sami: essaie de lire cet article sur La loi Géométrique.

ça ne te dit rien ?

Voilà je poste mon raisonnement:

Pour une meilleure lisibilité, je prends "A" à la place de "-" et
"B" à la place de "."

On suppose que :

N est le nombre total de lettres.

Soient les évènements suivants :

BAA(i) : La 1ère apparition de "BAA" est au ième rang avec i=1..N-2.
AAB(i) : La 1ère apparition de "AAB" est au ième rang avec i=1..N-2.

Calculons les probabilités de BAA(i) et AAB(i):
-------------------
P(BAA(1)) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
En effet, c'est équivalent à un double tirage avec remise
d'une urne contenant "A" et "B".

-------------------
P(BAA(2)) = ?
Pour avoir BAA à partir du 2ème rang, il faut d'abord garantir que
l'évènement BAA(1) ne s'est pas réalisé, et que simplement, au 2ème
rang, on a la chaine "BAA".

=> P(BAA(2)) = (1-1/8) x 1/8 = 7/8 x 1/8

-------------------
P(BAA(3)) = (7/8)^2 x (1/8)

On retrouve la loi géométrique.

P(BAA(k)) = (7/8)^(k-1) x (1/8)

De même pour AAB, on a :

P(AAB(k)) = (7/8)^(k-1) x (1/8).


Essayons de calculer la probabilité de l'évènement:
~BAA(K) = "BAA" apparaissent pour la 1ère fois avant (strictement) le rang k.

En effet:

~BAA(k) = BAA(1) OR BAA(2) OR ... OR BAA(k-1)

Comme les évènements BAA(i) sont incompatibles entre eux, alors :

P(~BAA(k)) = P(BAA(1)) P(BAA(2)) ... P(BAA(k-1))
= 1 - (7/8)^(k-1) si tous les calculs sont bons.

De même, P(~AAB(k)) = 1 - (7/8)^(k-1)

Soit l'évènement :
BB: "BAA" apparait pour la 1ère fois avant "AAB".
AA: "AAB" apparait pour la 1ère fois avant "BAA".

Remarque: BB et AA ne sont pas nécessairement complémentaires!

L'objectif de l'énigme est de comparer entre P(BB) et P(AA).

L'idée est d'utiliser la probabilté des évènements ~BAA et ~AAB
pour déterminer P(BB) et P(AA).

... à suivre.

nabiL a écrit:Si "équivalente" veut dire "même probabilité" alors je te dis :

Code:

P(A) = 1/2 * 1/2 vu que le choix entre "-" et "." est équiprobable.

P(B) = c'est plus compliqué à évaluer.

N'oublie pas qu'il n'y a aucune préférence entre "-" et "."

C'est important. Tous deux ont même probabilité d'être sélectionné et affiché.

Donc la 1ère apparition de toutes ces chaines ont même probabilité :

Code:

---
--.
-.-
.--
..-
.-.
-..
...

C'est ce que je pense.

équivalente veut dire que si l'une est vraie, alors l'autre l'est aussi. Et si l'une est fausse, alors l'autre l'est aussi. C'est une relation d'équivalence . Deux propositions équivalentes ont la même probabilité de réalisation, mais pas le contraire.

La proposition B est équivalente à A car :

Si A est vraie, c'est que l'ordinateur a affiché "--" au début de la série. Ce qui suit (le troisième symbole) peut être ou bien un "-", ou bien un "." . Si c'est un "." , ça-y-est ! il y a bien un "--." avant un ".--" . Si c'est un "-", ni "--." ni ".--" ne sont affichés. Et on passe au quatrième symbole. Et de même pour ce symbole . Donc à la fin, où bien "--." est affiché, ou bien l'ordinateur n'affiche que des "-". L'ordinateur ne peut pas afficher que des "-" car ça a une probabilité nulle ! Donc dans tous les cas, un "--." sera affiché avant un ".--" . Donc B est vraie

Si A est fausse, c'est que l'ordinateur a affiché au début ou bien "-." ou bien ".-" ou bien ".." . Avec un même raisonnement on peut voir que dans tous les cas, un ".--" sera affiché avant un "--." . Donc B est fausse

p(BAA(2)) =1/8 aussi

si BAA apparait à la deuxième position, c'est que surement elle n'a pas apparu à la première proposition..... Donc c'est sa première apparition.

De même pour p(BAA(3)) = 1/8

Pour BAA(4) , là il faut garantir que BAA n'a pas apparu à la première position .
Donc p(BAA(4)) = (1-(1/8 ))x(1/8 ) = 7/64

Sami a écrit:p(BAA(2)) =1/8 aussi

si BAA apparait à la deuxième position, c'est que surement elle n'a pas apparu à la première proposition..... Donc c'est sa première apparition.

De même pour p(BAA(3)) = 1/8

Pour BAA(4) , là il faut garantir que BAA n'a pas apparu à la première position .
Donc p(BAA(4)) = (1-(1/8 ))x(1/8 ) = 7/64

Je m'en suis rendu compte. C'est vrai.
Se rappeler de la loi de probabilité géométrique c'est important. Mais le plus important c'est de vérifier bien si le problème requiert cette loi ou non.

A ce qu'il parait, la loi de probabilité des variables aléatoires en question sont plus compliquées que la Géométrique.

.... à suivre.

et AAB(5) = ?

et AAB(6) = ?

... AAB(k) = ?

Sami a écrit:C'est un très joli problème. Mais je ne vois pas ce que les statistiques viennent faire ici

bonjour sami

le faite de calculer la chance c'est faire de statistique.

nawel a écrit:

Sami a écrit:C'est un très joli problème. Mais je ne vois pas ce que les statistiques viennent faire ici

bonjour sami

le faite de calculer la chance c'est faire de statistique.

surement

La bonne réponse est déjà trouvée mais laquelle? celle de nabil ou de sami?
@+

ben, à toi de le dire

Sami a écrit:

nawel a écrit:

Sami a écrit:C'est un très joli problème. Mais je ne vois pas ce que les statistiques viennent faire ici

bonjour sami

le faite de calculer la chance c'est faire de statistique.

surement

Donc tu vois ce que les statistiques viennent faire ici

oui mais "probabilité" aurait été plus approprié

Sami a écrit:ben, à toi de le dire

non je veux laisser le temps aux autres membres.peut être on aura une autre réponse ou une autre démonstration.

Sami a écrit:oui mais "probabilité" aurait été plus approprié

oui je te partage l'idée

nawel a écrit:

Sami a écrit:ben, à toi de le dire

non je veux laisser le temps aux autres membres.peut être on aura une autre réponse ou une autre démonstration.

je te partage l'idée aussi :p

j'ai modifié le titre pour qu'il sera plus exprimable.
on y d'accord sami

Salut
Tant qu'il n'y a pas des nouvelles réponses je vais annoncer la solution c'est celle postée par sami.

Sami a écrit:
la suite "--." n'apparaîtra avant la suite ".--" que si l'ordinateur fait sortir un "--" au début de la série...

C'est logique car si on cherche la première fois que l'ordinateur sort un "--." , et bien on pourra voir ce qu'il a fait sortir avant ce "--." et il y aura surement un "." (sauf dans le cas ou tout ce qui précède ce "--." sont des "-", ce qui veut dire que l'ordinateur a commencé la série avec un "--" ). Et si on trouve un ".", donc surement ".--" a précédé "--."

Ce qui veut dire que :
- Yourio gagnera si l'ordinateur commence avec "--" ce qui vaut une probabilité de (1/2)*(1/2) = 1/4.
- Anselme gagnera dans les autres cas. Ce qui vaut une probabilité de 1-(1/4) = 3/4

Donc Anselme 3addeha 3la Yourio :p

Pour finir, il y a toujours un gagnant. Car les cas extrêmes (où ni ".--" ni "--." n'apparaît dans la série) on une probabilité d'apparition nulle. Par exemple, la probabilité que l'ordinateur ne fait sortir que des "-" est nulle car elle est égale à lim((1/2)^n , quand n tend vers l'inifinie) = 0. (à chaque fois la probabilité que l'ordinateur sort un "-" vaut 1/2, et puisqu'on veut qu'il sort toujours un "-", on fait le produit des probabilités)

Nawel:
Il faut rééditer le sujet, et ajouter la balise prédéfinie [RESOLU].
Tu sais comment le faire?