Inégalité amusante
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Inégalité amusante
Voici une inégalité facile, mais amusante :
Soit x, y et z trois réels strictement positifs, tels que: 1/x + 1/y + 1/z = 1.
Montrer que (x-1)(y-1)(z-1) >= 8
Soit x, y et z trois réels strictement positifs, tels que: 1/x + 1/y + 1/z = 1.
Montrer que (x-1)(y-1)(z-1) >= 8
Napoléon- Admin
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Re: Inégalité amusante
on a 1/x+1/y+1/z=(yz+xz+xy)/xyz=1
donc yz+xz+xy=xyz
or (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=yz+xz+xy-xy-xz-yz+x+y+z-1
=x+y+z-1
M. que x+y+z>=9
donc yz+xz+xy=xyz
or (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=yz+xz+xy-xy-xz-yz+x+y+z-1
=x+y+z-1
M. que x+y+z>=9
Lamice- Entier Naturel
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Re: Inégalité amusante
Lamice a écrit:on a 1/x+1/y+1/z=(yz+xz+xy)/xyz=1
donc yz+xz+xy=xyz
or (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=yz+xz+xy-xy-xz-yz+x+y+z-1
=x+y+z-1
M. que x+y+z>=9
je ne pense pas que c'est le bon chemin Lamice ...
methodiX- Admin
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Re: Inégalité amusante
Alors, où sont les taupins?
Napoléon- Admin
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Re: Inégalité amusante
les étudiants du prepa que nous avons dans ce forul sont un peu paresseux
methodiX- Admin
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Re: Inégalité amusante
SAlut,
Franchement, je suis un GRAND paresseux, et surtout pour élaborer une inégalité
qui est le fruit d'une """3afsa""" qui est tombée du 7 ème ciel
Je ne possède aucune idée .
En plus, i don't have enough time. I am always busy (full time job).
Merci
Franchement, je suis un GRAND paresseux, et surtout pour élaborer une inégalité
qui est le fruit d'une """3afsa""" qui est tombée du 7 ème ciel
Je ne possède aucune idée .
En plus, i don't have enough time. I am always busy (full time job).
Merci
buddhabar87- Nombre Rationnel
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Re: Inégalité amusante
La moyenne harmonique de x, y et z est :
La moyenne arithmétique de x, y et z est :
Puisque la moyenne arithmétique est supérieure ou égale à la moyenne harmonique (pour tout ensemble de nombres supérieurs à zéro) on a :
Avec le raisonnement de Lamice plus haut, l'inégalité est démontrée. CQFD
Pour une démonstration de l'inégalité des trois moyennes (arithmétique >= géométrique >= harmonique) voir :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=338219&t=338219
.
h = 3 / ( 1/x + 1/y + 1/z)
donc h = 3
donc h = 3
La moyenne arithmétique de x, y et z est :
a = ( x + y + z ) / 3
Puisque la moyenne arithmétique est supérieure ou égale à la moyenne harmonique (pour tout ensemble de nombres supérieurs à zéro) on a :
a >= h
équivaut ( x + y + z ) /3 >= 3
équivaut x + y + z >= 9
équivaut ( x + y + z ) /3 >= 3
équivaut x + y + z >= 9
Avec le raisonnement de Lamice plus haut, l'inégalité est démontrée. CQFD
Pour une démonstration de l'inégalité des trois moyennes (arithmétique >= géométrique >= harmonique) voir :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=338219&t=338219
.
Sami- Entier Relatif
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Re: Inégalité amusante
Enfin, tu as démontrer l'inégalité ... bravo !
methodiX- Admin
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