Vous allez adorer cette limite...

Salut,

je crois que vous allez adorer cette limite (je l'espère en fait)

LIMITE (lorsque n tend vers +oo) DE ([(2n)!] / [n!n^n]) ^(1/n)

Elle résume une bonne partie du programme d'Analyse du BAC/MATH.

Soyez nombreux à participer ....

@+

y a pas de propositions??

j'ai passé beaucoup de temps pour la résoudre mais en vain

(n->+°°)lim([(2n)!] / [n!n^n]) ^(1/n)
=(n->+°°)lim([2n(2n-1)...(2n-n+1)/n^n]^(1/n)
=(n->+°°)lim([2n/n].[(2n-1)/n]...[(2n-n+1)/n])^(1/n)
=(n->+°°)lim(2.(2-1/n).(2-2/n)...(2-(n-1)/n))^(1/n)
=(n->+°°)lim exp[(1/n)ln(2.(2-1/n).(2-2/n)...(2-(n-1)/n))]
=(n->+°°)lim exp[(1/n)sum(ln(2-(i-1)/n),i=1..n)
=(n->+°°)lim exp(sum((1/n)ln(2-(i-1)/n),i=1..n)
=1

(n->+°°)lim: limite lorsque n tend vers +°°
sum: somme

Le plus petit terme de la somme est ln(2 - (n-1)/n) = ln(1 + 1/n) et le plus grand terme de la somme est ln 2.
La somme comprend n termes donc n ln(1 + 1/n) <= somme <= n ln 2.
donc ln(1 + 1/n) <= somme / n <= ln 2.
1 + 1/n <= exp(somme / n) <= 2.
La limite est donc comprise entre 1 et 2.
Cependant, je ne pense pas que la limite soit 1.

si on fait entrer 1/n dans la somme, chaque terme devient de la forme
[ln(2-i/n)]/n
or (n->°°)lim[ln(2-i/n)]/n= 0 qq i dans [0..n-1]
=> sum->0 par la suite exp(sum)->1 quand n->+°°

Mais, c'est une somme infinie de termes qui tendent vers 0, ce qui ne tend pas forcément vers 0, car la somme est infinie. (voir séries numériques)

silv1 a écrit:Mais, c'est une somme infinie de termes qui tendent vers 0, ce qui ne tend pas forcément vers 0, car la somme est infinie. (voir séries numériques)

c'est une erreur classique et très répandue: la somme infinie des termes d'une suite qui tend vers zéro, ne tend pas, en général en zéro !!!

exemple:

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... ===> ça tend vers +oo

ey la solution c'est quoi lol