Une chambre hyperbolique

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Une chambre hyperbolique

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Tout le monde apprend à l’école la géométrie euclidienne, basée sur un
certain nombre d’axiomes qu’Euclide a décrits dans son grand livre « les
Eléments ». Le cinquième axiome est celui des « parallèles » : par
un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule
parallèle à cette droite.

Peut-on imaginer une géométrie où tous
les axiomes seraient satisfaits, sauf le cinquième ? C’est une
question qui préoccupait beaucoup de mathématiciens jusqu’à ce qu’elle
trouve une réponse au début du 19-ème siècle. Lobachevsky, Bolyai et
Gauss ont prouvé que c’est possible : ils ont décrit une géométrie
cohérente sans cet axiome des parallèles, appelée « géométrie
hyperbolique ».
Cette géométrie qui était initialement une pure création de l’esprit,
sans véritable application, a pris de plus en plus de place dans les
mathématiques au point que certains mathématiciens d’aujourd’hui en ont
une véritable intuition, comme s’ils vivaient véritablement « dans »
cette géométrie.

Par exemple, la géométrie hyperbolique (en dimension 3) s’est avérée
la clé pour placer la fameuse conjecture de Poincaré
dans un contexte naturel, et ceci a mené à la magnifique solution de la
conjecture de géométrisation par Perelman en 2006, discutée dans cet article).

Comment un musée de sciences pourrait-il donner aux visiteurs
une idée concrète de la géométrie hyperbolique ?

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Pour en savoir plus :


1. Géométrie non-euclidienne.

2. Disque de Poincaré.

3. Géométrie hyperbolique.

4. Espaces non-euclidiens : « Curved spaces » par Jeff
Weeks.

5. Pavages hyperboliques.