Exercice:Olympiade Maths:Produit de chiffres d'un nombre

Si tu veux on peut résoudre l'exercice Bordeaux/Exercice n°1 du lien suivant: [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]

Il y a une ptite erreur P(45)=20 et non pas 28.

Code:

Exercice 1:
Pour n entier naturel, on désigne par P(n) le produit des chiffres intervenant dans l'écriture décimale de n.
Par exemple: P(5) = 5  ,  P(45) = 4 x5 = 20.
On se porpose de déterminer tous les entiers vérifiant : P(n) = n² + 1002n - 2006.
1 : Déterminer tous les nombres qui s'écrivent avec un seul chiffre et solutions du problème.
2: Démontrer que, si k est le nombre de chiffre de n , alors P(n) < 9^k et 10^(k-1) < n. En déduire l'encadrement suivant : 10^(2k-2) + 1002x10^(k-1) - 2006 < P(n) < 9^k .
3: Le problème a-t-il des solutions s'écrivant avec 2 chiffres?
4: Conclure.

Poster et discuter vos solutions...

mella exercice, 5an fakkar chweya 3ad

baah, la 1ère question est claire il n'existe qu'une seule réponse c'est l'entier 2. en effet, P(2)=2=2^2+1002*2-2006
rabi sahel pour le reste

hamdoulah, j'ai arrivé à démontrer la 1ère inégalité du 2ème quetion, concentrez-vous et suivez moi attentivement (yezi métachwich)

si on prend un entier n à k chiffres, le produit le plus grand des chiffres de n va être égal 9*.......*9 (9 se répète k fois)

vous me suivez?
autrement, si on prend n=9......9 (9 se répète k fois)

==> P(n)= P(9......9) = 9*....*9 = 9^k (résultat 1)

donc si on change un seul 9 dans l'écriture de n par un chiffre i qui est < à 9, on aura
P(n)=P(9..9 i 9...9)

=9*..*9*i*9*...*9 <--(on a k chiffres dans ce produit)

=9^(k-1) * i < 9^k (car i<9) (résultat 2)

(résultat 1) et (résultat 2) nous donnent P(n) <= 9^k

j'espère que tout va bien

s'il y a une autre proposition, sois la bienvenue

Je te félicite pour ta démonstration mosa
J'aurai quelques remarques que je posterai plutard.
@+

Félicitations Mosa...
J'essayerai de penser à l'exercice sans regerder sa solution.

voila ma manière de démontrer la 2ème inégalité, en fait c le même raisonnement:
si on prend un entier n à k chiffres, le plus petit entier possible serait égal à n = 10....0 (un seul chiffre 1 qui doît être le premier à gauche dans l'écriture de n et (k-1) chiffres 0, donc on a k chiffres)

mata9la9ch 5allik ma3aya

cet entier n=10....0 est égal à 10^(k-1) (résultat 1)
exemple:n=1000=10^3

si on change, dans l'écriture de n, le chiffre 1 par un autre chiffre qui est > à 1 ou on change un seul chiffre 0 par un autre qui est > à 0, ça suffit pour que n soit > à 10^(k-1)
(résultat 2)
exemple:n=2000>10^3
n=1001>10^3
n=154>10^2

(résultat 1) et (résultat 2) nous donnent 10^(k-1) <= n

bon c'était ma méthode de la démontrer, s'il y a une autre façon plus claire on l'accueillit avec plaisir

mosa a écrit:baah, la 1ère question est claire il n'existe qu'une seule réponse c'est l'entier 2. en effet, P(2)=2=2^2+1002*2-2006
rabi sahel pour le reste

Il faut rappeler qu'il s'agit de résoudre l'équation:
n²+1002n-2006=2 avec n un entier de [0..9].

La solution est unique et elle vaut {2}.

Attention: quelques erreurs se sont glissées lors de la copie-coller de l'énoncé du site de l'olympiade vers le forum (ex: Exposant manquant)... je les ai corrigées.

mosa a écrit:voila ma manière de démontrer la 2ème inégalité, en fait c le même raisonnement:
si on prend un entier n à k chiffres, le plus petit entier possible serait égal à n = 10....0 (un seul chiffre 1 qui doît être le premier à gauche dans l'écriture de n et (k-1) chiffres 0, donc on a k chiffres)

mata9la9ch 5allik ma3aya

cet entier n=10....0 est égal à 10^(k-1) (résultat 1)
exemple:n=1000=10^3

si on change, dans l'écriture de n, le chiffre 1 par un autre chiffre qui est > à 1 ou on change un seul chiffre 0 par un autre qui est > à 0, ça suffit pour que n soit > à 10^(k-1)
(résultat 2)
exemple:n=2000>10^3
n=1001>10^3
n=154>10^2

(résultat 1) et (résultat 2) nous donnent 10^(k-1) <= n

Il faut montrer que c'est valable pour tous les entiers n. La démo doit commencer avec une phrase du type : Pour tout n, on a ....

Voilà une version plus organisée de ta démo mosa (si je l'ai bien comprise)

Code:

Pour tout n constitué de k chiffres, il existe k chiffres a0, a1, ..., a(k-1) avec a(k-1) non nul (car n est formé de k chiffres), tels que:

n = a(k-1)x10^(k-1) + .... + a1x10^1 + a0x10^0

la plus petite valeur que peut avoir a(k-1) est 1.
la plus petite valeur que peut avoir a(k-2), ..., a(1) et a(0) est 0.
Dans ce cas, la plus petite valeur du nombre n est 10^(k-1).


Ce qui donne: n >= 10^(k-1).

Le reste de l'exercice est vraiment passionnant. J'attends vos essais.
La conclusion de l'exercice est aussi intéressante

oui merci patron, cette version est plus puissante

mosa a écrit:oui merci patron, cette version est plus puissante

Manich ton patron ya weldi

Zamile

mosa a écrit:oui merci patron, cette version est plus puissante

Manich patron ya weldi

Zamile

De ma part, j'ai trouvé que la solution du problème c'est la réponse à la question n°1 !!!

en ce qui concerne la 3ème question

si k=2, le problème n'a pas de solutions car k=2 ne vérifie pas l'encadrement déduit (on obtient un résultat absurde)

mosa a écrit:en ce qui concerne la 3ème question
si k=2, le problème n'a pas de solutions car k=2 ne vérifie pas l'encadrement déduit (on obtient un résultat absurde)

mosa:
Oui lorsque k=2, on obtient un encadrement incorrect.
Donc, pour trouver une bonne conclusion pour l'exercice, qu'est-ce qu'il faut faire à ton avis?

malheureusement, j'ai pas réussi à tirer une conclusion

Considère l'inéquation que tu as démontrée.
Essaie de trouver son domaine d'existence: c'est-à-dire les valeurs de k pour lesquelles l'inéquation a un sens. Tu pourras par la suite conclure.