Algorithme de Kaprekar

Salut
Je n'arrive pas à résoudre cette énigme.

• Prenons un nombre de trois chiffres distincts, par exemple 748,
  
• Ecrivons les deux nombres obtenus en rangeant ses chiffres par ordre décroissant : 874 et par ordre croissant : 478.
  
• Effectuons la différence : 874 - 478 = 396
  
• Recommençons la même opération avec 396 : 963 - 369 = 594
  
• Inutile de poursuivre : à l'évidence on retrouve 495.
  

Est-ce que
quelque soit le nombre de trois chiffres distincts choisi au départ, l'algorithme que
nous venons de décrire conduit immanquablement à 495 ?

J'en profite pour lancer un Topic qui concerne
l'algorithme Kaprekar.
J'espère que tout le monde en profite.

Code:

program Kaprekar;
var i, v,
    u, c, d, aux,
    max, min : integer;
begin
    for i:=100 to 999 do begin
        v := i;
        repeat
            c := v div 100;
            d := (v div 10) mod 10;
            u := v mod 10;
            if (c = d) and (d = u) then break;
            if (d > c) then begin aux:=d; d:=c; c:=aux; end;
            if (u > d) then begin aux:=u; u:=d; d:=aux; end;
            if (d > c) then begin aux:=d; d:=c; c:=aux; end;
            max := c *100 + d * 10 + u;
            min := u *100 + d * 10 + c;
            v := max - min;
        until (v = 495);
        if (v = 495) then Write(i,',');
    end;
    Readln;
end.


Soit V la différence ci-dessus
max=xyz, min=zyx (x, y, z les chiffres du nombre) :
V = abs(x*100+y*10+z - z*100-y*10-x) = abs(x*100+z - z*100-x)
V = abs(99*z-99*x) = 99*abs(z-x)

n1=abs(z-x) = 1 ; V=099
n2=abs(z-x) = 2 ; V=198
n3=abs(z-x) = 3 ; V=297

manianis a écrit:V=099 => (x:9, z:0) => V1=891 => (x:9, z:1) => V2=792 => (x:9, z:2) => V3 = 693 => (x:9, z:3) => V4=594 => (x:9, z:4) => V5=495 => (x:9, z:4) => V6=495

V=198 => (x:9, z:1) => V1=792 => (x:9, z:2) => V2 = 693 => (x:9, z:3) =>
V3=594 => (x:9, z:4) => V4=495 => (x:9, z:4) => V5=495

V=297 => (x:9, z:2) => V1 = 693 => (x:9, z:3) =>
V2=594 => (x:9, z:4) => V3=495 => (x:9, z:4) => V4=495

V=396 => (x:9, z:3) =>
V1=594 => (x:9, z:4) => V2=495 => (x:9, z:4) => V3=495

V=495 => (x:9, z:4) => V1=495 => (x:9, z:4) => V2=495

ihecien a écrit:

manianis a écrit:V=099 => (x:9, z:0) => V1=891 => (x:9, z:1) => V2=792 => (x:9, z:2) => V3 = 693 => (x:9, z:3) => V4=594 => (x:9, z:4) => V5=495 => (x:9, z:4) => V6=495

V=198 => (x:9, z:1) => V1=792 => (x:9, z:2) => V2 = 693 => (x:9, z:3) =>
V3=594 => (x:9, z:4) => V4=495 => (x:9, z:4) => V5=495

V=297 => (x:9, z:2) => V1 = 693 => (x:9, z:3) =>
V2=594 => (x:9, z:4) => V3=495 => (x:9, z:4) => V4=495

V=396 => (x:9, z:3) =>
V1=594 => (x:9, z:4) => V2=495 => (x:9, z:4) => V3=495

V=495 => (x:9, z:4) => V1=495 => (x:9, z:4) => V2=495

Où a tu remplacer x et z?

mosa a écrit:prenons le 1er cas V=099 donc max=990 et min=099 et donc x=9 et z=0
maintenant on fait la différence maw-min et on trouve V1 et ainsi de suite

Admin a écrit:

Soit V la différence ci-dessus
max=xyz, min=zyx (x, y, z les chiffres du nombre) :
V = abs(x*100+y*10+z - z*100-y*10-x) = abs(x*100+z - z*100-x)
V = abs(99*z-99*x) = 99*abs(z-x)

Puisque xyz est l'écriture du plus grand nombre constitué des chiffres x,y,z, alors, on doit avoir x>z, donc, on n'a pas besoin de la valeur absloue.
V = max - min = 99(x-z) > 0.

n1=abs(z-x) = 1 ; V=099
n2=abs(z-x) = 2 ; V=198
n3=abs(z-x) = 3 ; V=297

Il ne faut pas oublier les nombres tels que x=y=z. Dans ce cas,
il faut ajouter n0 = 0.

Merci manianis pour le développement de la solution.
a+

mosa a écrit:mais maintenant il faut justifier l'utilisation de abs, est-elle nécessaire?