Solution d'une équation + paramètre n

Bonsoir, voilà mon problème :

Soit n un entier naturel non nul.

Démontrez que xⁿ⁺¹-2xⁿ+1=0 a une solution comprise entre 2n/n+1 et 2.

Merci d'avance !

P(X)=X^(n+1) - 2X^n + 1
P'(X)=(n+1)*X^n - 2*n*X^(n-1)

pour X> 0 :
P'(X) > 0 <=> X^(n-1) * ( (n+1)*X -2*n) > 0
<=> X > 2*n/(n+1)

Donc P est croissant à partir de X=2n/(n+1)

P(2) = 1 >0

P(2n/(n+1)) = ((2n)^(n+1))/((n+1)^(n+1)) - (2(2n)^n)/((n+1)^n) +1
=....= 1 - (2(2n)^n)/((n+1)^(n+1))

par récurrence on a
2*(2n)^n > (n+1)^(n+1) pour n > 1 (il y a égalité pour n=1)

donc P(2n/(n+1)) < 0 (= 0 pour n=1)

donc P est croissant dans l'intervalle [2n/(n+1),2] est a une valeur négative à gauche et une valeur positive à droite. P est aussi continu. Donc il s'annule surement (une et une seule fois) entre les deux valeurs (théorème des valeurs intermédiaires).

Juste pour rappel :
L'énoncé ne demande pas de montrer que la solution est unique.

Si on reprend l'exercice, on passera par les étapes suivantes :

1) Prouver que Pn est continu (ici, aucun problème: sur IR)
2) Montrer (n+1)^(n+1) x Pn(2) x Pn(2n/n+1) < 0, puisque ça simplifie énormément les calculs. Et mentionner que les conditions du théorèmes des valeurs intermédiaire sont vérifiées.

rectif: <0

nabiL a écrit:Juste pour rappel :
L'énoncé ne demande pas de montrer que la solution est unique.

Si on reprend l'exercice, on passera par les étapes suivantes :

1) Prouver que Pn est continu (ici, aucun problème: sur IR)
2) Montrer (n+1)^(n+1) x Pn(2) x Pn(2n/n+1) > 0, puisque ça simplifie énormément les calculs. Et mentionner que les conditions du théorèmes des valeurs intermédiaire sont vérifiées.

L'unicité c'est un plus .

Par contre, pour le 2) il faut montrer que c'est négatif et non positif (signes opposés).

sami a écrit:par récurrence on a
2*(2n)^n > (n+1)^(n+1) pour n > 1 (il y a égalité pour n=1)

Je ne vois pas l'utilité de la récurrence dans cet exercice, tant que le passage d'une égalité à une autre se fait par "équivalence" ...