Inégalité amusante

Voici une inégalité facile, mais amusante :

Soit x, y et z trois réels strictement positifs, tels que: 1/x + 1/y + 1/z = 1.

Montrer que (x-1)(y-1)(z-1) >= 8

on a 1/x+1/y+1/z=(yz+xz+xy)/xyz=1
donc yz+xz+xy=xyz
or (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=yz+xz+xy-xy-xz-yz+x+y+z-1
=x+y+z-1
M. que x+y+z>=9

Lamice a écrit:on a 1/x+1/y+1/z=(yz+xz+xy)/xyz=1
donc yz+xz+xy=xyz
or (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1
=yz+xz+xy-xy-xz-yz+x+y+z-1
=x+y+z-1
M. que x+y+z>=9

je ne pense pas que c'est le bon chemin Lamice ...

Alors, où sont les taupins?

les étudiants du prepa que nous avons dans ce forul sont un peu paresseux

SAlut,

Franchement, je suis un GRAND paresseux, et surtout pour élaborer une inégalité

qui est le fruit d'une """3afsa""" qui est tombée du 7 ème ciel

Je ne possède aucune idée .

En plus, i don't have enough time. I am always busy (full time job).

Merci

La moyenne harmonique de x, y et z est :

La moyenne arithmétique de x, y et z est :

Puisque la moyenne arithmétique est supérieure ou égale à la moyenne harmonique (pour tout ensemble de nombres supérieurs à zéro) on a :

Avec le raisonnement de Lamice plus haut, l'inégalité est démontrée. CQFD

Pour une démonstration de l'inégalité des trois moyennes (arithmétique >= géométrique >= harmonique) voir :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=338219&t=338219

.

Enfin, tu as démontrer l'inégalité ... bravo !