Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
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Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Salut,
Je vous propose un joli problème de dénombrement :
Je vous propose un joli problème de dénombrement :
Amicalement.Soit n un entier naturel. Soit D(n) l'ensemble des diviseurs de n. Quel est le cardinal de D(n)? (avec démonstration )
indice : écrire n sous la forme suivante : n = P1^(a1) * P2^(a2)*.....*Pm^(am)
Avec : P1 , P2 ,...,Pm des nombres premiers distincts deux à deux. C'est la décomposition primaire de n.[/size]
Sami- Entier Relatif
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Je reformule autrement la question pour vérifier si j'ai bien compris :
Soit "n" un entier naturel.
Quel est le nombre de divisieurs de "n" sachant qu'il se décompose en "m" facteurs premiers "P(i)" de la manière suivante:
n = P1^(a1) * P2^(a2)*.....*Pm^(am)
Soit "n" un entier naturel.
Quel est le nombre de divisieurs de "n" sachant qu'il se décompose en "m" facteurs premiers "P(i)" de la manière suivante:
n = P1^(a1) * P2^(a2)*.....*Pm^(am)
Napoléon- Admin
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
J'ai trouvé une expression du cardinal de l'ensemble. Elle fait intervenir uniquement les "ai"...
Je dois la valider avant de la poster ...
merci pour l'énigme !!!
Je dois la valider avant de la poster ...
merci pour l'énigme !!!
Napoléon- Admin
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Est-ce que vous serez d'accord si on déplace ce sujet vers la rubrique des ENIGMES ?
Napoléon- Admin
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Bonh, la "1ère" formule que j'ai trouvée a la forme suivante :
On prend un exemple:
n = 2x3x5 = 30
ici m = 3, et a1=a2=a3=1, le nombre de diviseurs de 30 est ND(30)=8.
La formule que j'ai proposée donne:
ND(30) = 1 + (1+1+1) + (1x1 + 1x1 + 1x1) + (1x1x1) = 8
Je m'intéresse actuellement à faire une petite recherche sur la simplification de la somme des produits cités dans la formule.
@+
- Code:
ND(n) = 1 + (a1 + a2 + .... + am) +
(a1a2 + a1a3 + ..... a(m-1)a(m)) +
(a1a2a3 a1a2a4 ..... a(m-2)a(m-1)a(m)) +
.....
a1.a2.a3.....am
On prend un exemple:
n = 2x3x5 = 30
ici m = 3, et a1=a2=a3=1, le nombre de diviseurs de 30 est ND(30)=8.
La formule que j'ai proposée donne:
ND(30) = 1 + (1+1+1) + (1x1 + 1x1 + 1x1) + (1x1x1) = 8
Je m'intéresse actuellement à faire une petite recherche sur la simplification de la somme des produits cités dans la formule.
@+
Napoléon- Admin
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Oui pour moi
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Voilà à quoi ont abouti mes calculs (simplification de la formule précédente):
ND(n) = (1+a1)(1+a2)...(1+am)
Wow
Quel plaisir après avoir trouvé cette formule.
ND(n) = (1+a1)(1+a2)...(1+am)
Wow
Quel plaisir après avoir trouvé cette formule.
Napoléon- Admin
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Bravo.
Mais il y a une méthode plus simple :
Un diviseur "d" de "n" s'écrit lui même comme ceci :
Les "Pi" sont différents deux à deux, et quelque soit i dans [[1,m]] , 0<=bi<=ai.
Autrement dit, on choisit un diviseur de "n" en choisissant les "bi" entre zéro et "ai" . Donc pour chaque "Pi" il y a (1+ai) possibilités. Mais puisque on doit choisir un "bi" pour tous les "Pi", on obtient un produit (c'est un ET et non un OU). Donc, le nombre totale de diviseurs est le produit des (1+ai) , i allant de 1 à m .
Mais il y a une méthode plus simple :
Un diviseur "d" de "n" s'écrit lui même comme ceci :
d = P1^(b1) * P2^(b2) *.....* Pm^(bm)
Les "Pi" sont différents deux à deux, et quelque soit i dans [[1,m]] , 0<=bi<=ai.
Autrement dit, on choisit un diviseur de "n" en choisissant les "bi" entre zéro et "ai" . Donc pour chaque "Pi" il y a (1+ai) possibilités. Mais puisque on doit choisir un "bi" pour tous les "Pi", on obtient un produit (c'est un ET et non un OU). Donc, le nombre totale de diviseurs est le produit des (1+ai) , i allant de 1 à m .
Sami- Entier Relatif
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Bon, maintenant ça se complique un peu :
Soit n un entier naturel. Chercher le cardinal des ensembles suivants :
E2 = { {x,y} / (n = x*y) ET ( (x,y) dans IN²)}
E3 = { {x,y,z} / (n=x*y*z) ET ( (x,y,z) dans IN^3) }
Em = { {x1,x2,...,xm} / (n=x1*x2*...*xm) ET ( (x1,x2,...,xm) dans IN^m) }
Soit n un entier naturel. Chercher le cardinal des ensembles suivants :
E2 = { {x,y} / (n = x*y) ET ( (x,y) dans IN²)}
E3 = { {x,y,z} / (n=x*y*z) ET ( (x,y,z) dans IN^3) }
Em = { {x1,x2,...,xm} / (n=x1*x2*...*xm) ET ( (x1,x2,...,xm) dans IN^m) }
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
A première vue, il y a des discussions à faire dans certains E(i) telles que le cas où ND(n) est pair, ou impair ...
je vais essayer de m'en occuper ...
je vais essayer de m'en occuper ...
Napoléon- Admin
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
E2' = { (x,y) / (n = x*y) ET ( (x,y) dans IN²)}[/quote]Soit n un entier naturel. Chercher le cardinal des ensembles suivants :
E2 = { {x,y} / (n = x*y) ET ( (x,y) dans IN²)}
Etudions d'abord le cas de l'ensemble E' :
n possède ND(n) diviseurs. On les note: {1, d1, d2, ..., dv}.
Pour écrire n sous la forme x . y, il suffit de considérer x comme étant un d(i).
Il existe alors :
- Code:
C(ND(n),1) façons de construire x comme produit de 1 d(i).
Soit , il y a ND(n) façons de construire x.
et par suite: Cardinal(E'(2,n)) = ND(n).
Comme x et y jouent deux rôles symétriques, alors,
Si ND(n) est pair alors:
Cardinal(E(2,n)) = Cardinal(E'(2,n)) / 2.
Si ND(n) est impair alors:
Cardinal(E(2,n)) = (1+Cardinal(E(2,n)))/2
Exemple:
DIV(8) = {1,2,4,8} ==> pair
E'(2,8) = {(1,8),(2,4),(4,2),(8,1)}
E(2,8) = {{1,8},{2,4}}
la formule donne Cardinal E'2 = 4 et Cardinal E2 = 2
DIV(9) = {1,3,9} ==> impair
E'(2,9) = {(1,9),(3,3),(9,1)}
E(2,9) = {(1,9),(3,3)}
la formule donne Cardinal E'2 = 3 et Cardinal E2 = 2
Napoléon- Admin
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Re: Les diviseurs, combien y'a-t-il ?
Euuuh, oui bravo.
En fait, j'ai choisi de regrouper les deux formules en une seule :
card(E2) = E ( (1+ card(D(n)))/2) ; "E" pour partie entière.
En plus, j'ai pas mis comme critère la parité de card(D(n)), mais plutôt la quadrature de "n" (n=p² ; p dans IN). Ce qui revient au même en fait.
Enfin, le plus dure reste à venir
En fait, j'ai choisi de regrouper les deux formules en une seule :
card(E2) = E ( (1+ card(D(n)))/2) ; "E" pour partie entière.
En plus, j'ai pas mis comme critère la parité de card(D(n)), mais plutôt la quadrature de "n" (n=p² ; p dans IN). Ce qui revient au même en fait.
Enfin, le plus dure reste à venir
Sami- Entier Relatif
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